Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas no espaço:
C é a interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano z=y-x.

Passo 1

O problema pede para parametrizar diferenciavelmente a curva de interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano z=y-x. O conteúdo principal é parametrização de curvas no espaço usando coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Como a projeção da curva no plano xy é o círculo unitário, usamos coordenadas polares para parametrizar o cilindro: definimos x(t)=cos t e y(t)=sin t, com t variando em um intervalo de comprimento 2pi.

Passo 3

Para obter a coordenada z, substituímos x(t) e y(t) na equação do plano: z=y-x=sin t-cos t.

Passo 4

Agrupando tudo, construímos a parametrização da curva como vetor de funções de t.

Resposta

Uma parametrização diferenciável é r(t)=(cos t,sin t,sin t-cos t), para tin[0,2pi].

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