Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
C: 9 x^2+y^2=9, y >= 0

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização diferenciável da semi-elipse definida por 9x² + y² = 9 com y ≥ 0; o conteúdo é parametrização de curvas planas, em particular elipses.

Passo 2

Primeiro normalizamos a equação da elipse dividindo ambos os lados por 9:
9x^29 + y^29 = 99
o que dá
x^2 + y^29 = 1
Isso mostra uma elipse com semi-eixo horizontal 1 e semi-eixo vertical 3.

Passo 3

Para parametrizar uma elipse de equação x^2a^2 + y^2b^2 = 1, usamos a parametrização padrão
x = acos t, y = bsin t
com t variando no intervalo adequado.

Passo 4

No nosso caso, a = 1 e b = 3, e como queremos apenas a parte superior (y ≥ 0), escolhemos
x(t) = cos t, y(t) = 3sin t, t in [0,pi]

Passo 5

Verificamos que para todo tin[0,pi], y(t)=3sin t>=0 e
9l(x(t)r)^2 + l(y(t)r)^2 = 9cos^2 t + 9sin^2 t = 9(cos^2 t + sin^2 t) = 9,
como desejado.

Resposta

r(t) = (cos t,,3sin t), t in [0,pi]

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