Em cada um dos Problemas 20 a 25, encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t infty?
4 y^prime prime prime+y^prime+5 y=0 ; y(0)=2, y^prime(0)=1, y^prime prime(0)=-1

Passo 1

Resumo do problema e estratégia: Resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem
4y''' + y' + 5y = 0
com condições iniciais y(0)=2, y'(0)=1, y''(0)=-1. Esse tipo de problema exige montar a equação característica, encontrar suas raízes e escrever a solução geral como combinação de termos exponenciais reais e exponenciais complexos. Em seguida, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Equação característica: substituímos y=e^rt na EDO e obtemos
4r^3 + r + 5 = 0
Testando raízes inteiras, vemos que r=-1 anula o polinômio, então fatoramos (r+1). Dividindo, chega-se ao fator quadrático
4r^2 - 4r + 5 = 0,
cuja solução é
r = 4 pm raiz16 - 808 = 12 pm i

Passo 3

Solução geral: a raiz real r=-1 gera o termo C1e^-t. Para as raízes complexas r=tfrac12pm i usamos o formato e^at(C2cos bt + C3sin bt), ou seja,
y(t) = C1e^-t + e^t/2l(C2cos t + C3sin tr)

Passo 4

Derivadas e sistema para constantes: calculamos as derivadas
y'(t) = -C1e^-t + e^t/2l((tfrac12C2 + C3)cos t + (tfrac12C3 - C2)sin tr),
y''(t) = C1e^-t + e^t/2l((-tfrac34C2 + C3)cos t + (tfrac12C3 - C2 - tfrac12(tfrac12C2 + C3))sin tr)
Em t=0 as três condições iniciais geram o sistema
C1 + C2 = 2, - C1 + tfrac12C2 + C3 = 1, C1 - tfrac34C2 + C3 = -1

Passo 5

Resolvendo o sistema de três equações, encontramos
C1 = tfrac213, C2 = tfrac2413, C3 = tfrac313
Substituindo na solução geral, obtemos
y(t) = 213e^-t + e^t/2l(2413cos t + 313sin tr)

Passo 6

Gráfico qualitativo e comportamento assintótico: o termo e^-t decai, mas o termo e^t/2(cdots) cresce exponencialmente modulando oscilações. Assim, y(t) oscila com amplitude que cresce como e^t/2. Quando ttoinfty, a solução diverge oscilando, pois a componente com parte real positiva domina.

Resposta

A solução é
y(t) = 213e^-t + e^t/2l(2413cos t + 313sin tr)
Conforme ttoinfty, as oscilações têm amplitude que cresce como e^t/2, logo y(t) diverge oscilando.

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