Em cada um dos Problemas 20 a 25, encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando ?
Passo 1
Resumo do problema e estratégia: Resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem
com condições iniciais , , . Esse tipo de problema exige montar a equação característica, encontrar suas raízes e escrever a solução geral como combinação de termos exponenciais reais e exponenciais complexos. Em seguida, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Equação característica: substituímos na EDO e obtemos
Testando raízes inteiras, vemos que anula o polinômio, então fatoramos . Dividindo, chega-se ao fator quadrático
cuja solução é
Passo 3
Solução geral: a raiz real gera o termo . Para as raízes complexas usamos o formato , ou seja,
Passo 4
Derivadas e sistema para constantes: calculamos as derivadas
Em as três condições iniciais geram o sistema
Passo 5
Resolvendo o sistema de três equações, encontramos
C1 = tfrac213, C2 = tfrac2413, C3 = tfrac313
Substituindo na solução geral, obtemos
y(t) = 213e^-t + e^t/2l(2413cos t + 313sin tr)
Passo 6
Gráfico qualitativo e comportamento assintótico: o termo e^-t decai, mas o termo e^t/2(cdots) cresce exponencialmente modulando oscilações. Assim, y(t) oscila com amplitude que cresce como e^t/2. Quando ttoinfty, a solução diverge oscilando, pois a componente com parte real positiva domina.
Resposta
A solução é
y(t) = 213e^-t + e^t/2l(2413cos t + 313sin tr)
Conforme ttoinfty, as oscilações têm amplitude que cresce como e^t/2, logo y(t) diverge oscilando.