Verifique se a função z=y4 y^2-x^2 satisfaz a equação partial^2 zpartial y^2=4 cdot partial^2 zpartial x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que nos pede para verificar se a função $ z = \frac{y}{4 y^{2} - x^{2}} $ satisfaz a equação $ \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 4 \cdot \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} $. Aqui, vamos trabalhar com derivadas parciais de segunda ordem, que fazem parte do estudo de cálculo diferencial multivariável.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de $ z $ em relação a $ y $. Vamos usar a regra do quociente:
z

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de $ z $ em relação a $ y $. Diferenciando novamente:
z
Aplicando a regra do quociente:
y
Simplificando:
partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y ( -4 y^2 - x^2(4 y^2 - x^2)^2 )

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ z $ em relação a $ x $:
z

Passo 5

Em seguida, encontramos a segunda derivada de $ z $ em relação a $ x $:
z
Aplicando a regra do quociente:
x
Simplificando:
partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( 2 x y(4 y^2 - x^2)^2 )

Passo 6

Agora, vamos verificar se $ \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 4 \cdot \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} $:
partial^2 zpartial y^2 = 4 cdot partial^2 zpartial x^2
Simplificando o lado direito:
8 y (3 y^2 - x^2)(4 y^2 - x^2)^3 = 4 cdot 2 y (4 y^2 + 3 x^2)(4 y^2 - x^2)^3
Comparando os dois lados:
4 cdot 2 y (4 y^2 + 3 x^2)(4 y^2 - x^2)^3 = 8 y (4 y^2 + 3 x^2)(4 y^2 - x^2)^3

Resposta

A função $ z = \frac{y}{4 y^{2} - x^{2}} $ não satisfaz a equação $ \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 4 \cdot \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} $.

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