Verifique se a função
satisfaz a equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que nos pede para verificar se a função $ z = \frac{y}{4 y^{2} - x^{2}} $ satisfaz a equação $ \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 4 \cdot \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} $. Aqui, vamos trabalhar com derivadas parciais de segunda ordem, que fazem parte do estudo de cálculo diferencial multivariável.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de $ z $ em relação a $ y $. Vamos usar a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de $ z $ em relação a $ y $. Diferenciando novamente:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ z $ em relação a $ x $:
Passo 5
Em seguida, encontramos a segunda derivada de $ z $ em relação a $ x $:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos verificar se $ \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 4 \cdot \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} $:
Simplificando o lado direito:
Comparando os dois lados:
Resposta
A função $ z = \frac{y}{4 y^{2} - x^{2}} $ não satisfaz a equação $ \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 4 \cdot \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} $.