Determine o domínio da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio da função
O domínio de uma função são todos os pares de valores
que fazem a função existir, ou seja, que não dão nenhum problema matemático, como logaritmo de número negativo ou divisão por zero. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função separadamente e descobrir quais restrições elas impõem nos valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o
. O logaritmo natural só está definido para números positivos, então o que está dentro do log precisa ser maior que zero:
Isso significa que:
Então, uma restrição para o domínio é que
deve ser menor que
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da função:
. A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja:
Então, a segunda restrição é:
Passo 4
Vamos resumir as restrições que encontramos:
Isso significa que, para qualquer par
estar no domínio da função
, ele precisa satisfazer ambas as condições acima ao mesmo tempo.
Passo 5
Para visualizar melhor, podemos desenhar essas inequações no plano
:
- A inequação
representa a região abaixo da reta . - A inequação
representa a região acima da reta .
O domínio será a interseção dessas duas regiões, ou seja, os pontos que estão abaixo de
e acima de
ao mesmo tempo.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem:
Ou seja,