Determine o domínio da função
f(x, y)=ln (3 x-y)+raizx+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio da função
f(x, y) = ln(3x - y) + raizx + y
O domínio de uma função são todos os pares de valores (x, y) que fazem a função existir, ou seja, que não dão nenhum problema matemático, como logaritmo de número negativo ou divisão por zero. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função separadamente e descobrir quais restrições elas impõem nos valores de x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o ln(3x - y). O logaritmo natural só está definido para números positivos, então o que está dentro do log precisa ser maior que zero:
3x - y > 0
Isso significa que:
y < 3x
Então, uma restrição para o domínio é que y deve ser menor que 3x.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da função: raizx + y. A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja:
x + y >= 0
Então, a segunda restrição é:
x + y >= 0

Passo 4

Vamos resumir as restrições que encontramos:
  1. y < 3x
  2. x + y >= 0
Isso significa que, para qualquer par (x, y) estar no domínio da função f(x, y), ele precisa satisfazer ambas as condições acima ao mesmo tempo.

Passo 5

Para visualizar melhor, podemos desenhar essas inequações no plano xy:
  • A inequação y < 3x representa a região abaixo da reta y = 3x.
  • A inequação x + y >= 0 representa a região acima da reta y = -x.
O domínio será a interseção dessas duas regiões, ou seja, os pontos que estão abaixo de y = 3x e acima de y = -x ao mesmo tempo.

Resposta

O domínio da função f(x, y) = ln(3x - y) + raizx + y é o conjunto de todos os pares (x, y) que satisfazem:
y < 3x e x + y >= 0
Ou seja,
D = , (x, y) in R^2 mid y < 3x e x + y >= 0 ,

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