Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
é a elipse

Passo 1

Você quer uma parametrização diferenciável da curva plana C definida por x^2 + 8y^2 = 24. O conteúdo é parametrização de curvas e vamos usar funções trigonométricas para encaixar a identidade cos^2 t + sin^2 t = 1.

Passo 2

Dividindo ambos os lados de x^2 + 8y^2 = 24 por 24, obtemos:
x^224 + y^23 = 1
Isso nos revela que os semi-eixos são a = raiz24 = 2raiz6 e b = raiz3.

Passo 3

Como a forma padrão de uma elipse é
l(xar)^2 + l(ybr)^2 = 1
podemos usar a substituição trigonométrica
x = acos t, y = bsin t
para parametrizar.

Passo 4

Logo, definimos a função vetor
r(t) = (2raiz6cos t,,raiz3sin t),
com tin[0,2pi). As componentes são compostas por seno e cosseno, que são infinitamente diferenciáveis, garantindo que r(t) é uma parametrização diferenciável.

Resposta

r(t) = (2raiz6cos t,,raiz3sin t),; tin[0,2pi)

Exercícios relacionados