Parametrize as seguintes curvas:
A curva espacial obtida pela interseção do cilindro circular x^2+y^2=4 com o cilindro parabólico z=x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para parametrizar a curva que resulta da interseção de dois cilindros: um cilindro circular dado por x^2 + y^2 = 4 e um cilindro parabólico dado por z = x^2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção desses dois cilindros. A interseção dessas superfícies gera uma curva no espaço tridimensional onde ambos os cilindros compartilham os mesmos pontos (x, y, z).

Passo 3

Vamos começar olhando para o cilindro circular x^2 + y^2 = 4. Esse é um cilindro de raio 2, alinhado ao longo do eixo z. Isso significa que, para qualquer valor de z, o diâmetro do cilindro no plano xy é um círculo de raio 2.

Passo 4

Agora, o cilindro parabólico z = x^2 descreve uma superfície onde, para cada valor de x, o valor de z é igual a x^2. Este cilindro está alinhado ao longo do eixo y, já que a equação não envolve y.

Passo 5

Para encontrar a curva de interseção, precisamos combinar as duas equações:
x^2 + y^2 = 4 z = x^2
Isso nos dá duas relações entre x, y e z.

Passo 6

Vamos parametrizar x e y usando um parâmetro trigonométrico, já que x^2 + y^2 = 4 é a equação de um círculo. Podemos escrever:
x = 2 cos(t)
y = 2 sin(t)
Aqui, t é o parâmetro que varia de 0 a 2pi.

Passo 7

Agora, usando a segunda equação z = x^2, e substituindo x = 2 cos(t), temos:
z = (2 cos(t))^2 = 4 cos^2(t)

Passo 8

Então, juntando tudo, a parametrização da curva de interseção é:
x(t) = 2 cos(t) y(t) = 2 sin(t) z(t) = 4 cos^2(t)
onde t está no intervalo [0, 2pi).

Resposta

A parametrização da curva de interseção dos cilindros é dada por:
x(t) = 2 cos(t) y(t) = 2 sin(t) z(t) = 4 cos^2(t)
para t variando de 0 a 2pi.

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