Parametrize as seguintes curvas:
A curva espacial obtida pela interseção do cilindro circular com o cilindro parabólico .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para parametrizar a curva que resulta da interseção de dois cilindros: um cilindro circular dado por e um cilindro parabólico dado por . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção desses dois cilindros. A interseção dessas superfícies gera uma curva no espaço tridimensional onde ambos os cilindros compartilham os mesmos pontos .
Passo 3
Vamos começar olhando para o cilindro circular . Esse é um cilindro de raio 2, alinhado ao longo do eixo . Isso significa que, para qualquer valor de , o diâmetro do cilindro no plano é um círculo de raio 2.
Passo 4
Agora, o cilindro parabólico descreve uma superfície onde, para cada valor de , o valor de é igual a . Este cilindro está alinhado ao longo do eixo , já que a equação não envolve .
Passo 5
Para encontrar a curva de interseção, precisamos combinar as duas equações:
Isso nos dá duas relações entre , e .
Passo 6
Vamos parametrizar e usando um parâmetro trigonométrico, já que é a equação de um círculo. Podemos escrever:
Aqui, é o parâmetro que varia de a .
Passo 7
Agora, usando a segunda equação , e substituindo , temos:
Passo 8
Então, juntando tudo, a parametrização da curva de interseção é:
onde t está no intervalo [0, 2pi).
Resposta
A parametrização da curva de interseção dos cilindros é dada por: