classifique a equação como separável, linear, exata ou nenhuma destas. Observe que algumas equações podem ter mais de uma classificação.
x y d x+d y=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
x , y , dx + dy = 0
O objetivo é classificar essa equação como separável, linear, exata ou nenhuma dessas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cada uma dessas classificações e aplicar o que sabemos para ver qual se encaixa nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação diferencial é separável se conseguimos separar as variáveis y e x em lados opostos da equação.
Vamos rearranjar a equação:
x , y , dx + dy = 0 Rightarrow dy = -x , y , dx Rightarrow dydx = -x , y
Agora, vemos que podemos escrever isso como:
dyy = -x , dx
Aqui, conseguimos separar as variáveis y e x, então a equação é separável.

Passo 3

Agora, vamos checar se a equação é linear. Uma equação linear tem a forma:
dydx + P(x) , y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
dydx = -x , y
Podemos reescrever como:
dydx + x , y = 0
Aqui, P(x) = x e Q(x) = 0. Como a equação se encaixa nessa forma, ela também é linear.

Passo 4

Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, escrevemos a equação na forma M , dx + N , dy = 0, onde:
M = x , y N = 1
A condição para ser exata é que:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando:
partial Mpartial y = x partial Npartial x = 0
Como x neq 0 para generalidades, a condição não é satisfeita. Portanto, a equação não é exata.

Resposta

A equação x , y , dx + dy = 0 é separável e linear.

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