Apresente solução das seguintes equações diferenciais ordinárias separáveis
d yd x=3 x y, y>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária separável dydx = 3xy com a condição implícita de y>0. O conteúdo envolvido é a técnica de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Começamos reescrevendo a equação de modo a agrupar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro. Dividindo ambos os lados por y e multiplicando por dx obtemos:
1y,dy = 3x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo integramos integral1ydy = ln|y|, e do lado direito integramos integral 3x,dx = 32x^2. Acrescentamos uma constante de integração C:
ln|y| = 32x^2 + C

Passo 4

Como estamos considerando y>0, podemos retirar o valor absoluto e escrever ln y. Em seguida aplicamos a exponenciação para isolar y:
y = e^ln y = e^32x^2 + C = e^C cdot e^32x^2

Passo 5

Definindo a constante positiva A = e^C, chegamos à solução geral da equação diferencial:
y(x) = A,e^32x^2, A > 0

Resposta

y(x)=A,e^tfrac32x^2, A>0

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