Questão (3 pontos) Considere o sistema
x^prime=Ax+g(t) onde A=(cc 2 & 3 -3 & 2 )
(b) Resolva o sistema (1) quando g(t)=binome^2 t0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não‐homogêneo dot x = A x + g(t) com
$$A= A=2&3-3&2, g(t)=e^2t0 ,\qquad g(t)= Phi(t)=e^At.
$$
O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos precisar da matriz fundamental e do método de variação de parâmetros para obter a parte particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos o sistema homogêneo dot x = A x. Note que podemos escrever
A = 2I + 3J, J=0&1-1&0,
o que leva a
e^At = e^2te^3Jt = e^2tl(cos3t,I + sin3t,Jr) = e^2tcos3t&sin3t-sin3t&cos3t

Passo 3

A solução geral do sistema não‐homogêneo é
x(t)=Phi(t)C + xp(t),
onde a parte particular vem da integral de convolução
xp(t)=integral0^tPhi(t-s),g(s),ds

Passo 4

Substituindo Phi(t-s) e g(s) na integral, temos
Phi(t-s),g(s)=e^2(t-s)cos3(t-s)&sin3(t-s)-sin3(t-s)&cos3(t-s)e^2s0 = e^2tcos3(t-s)-sin3(t-s)
Logo
xp(t)=e^2tintegral0^tcos3(t-s)-sin3(t-s)ds

Passo 5

Fazendo a mudança de variável u=t-s, com du=-ds, a integral vira
xp(t)=e^2tintegral0^tcos3u-sin3udu
Calculando cada componente:
integral0^tcos3u,du=tfrac13sin3t, integral0^tsin3u,du=tfrac13(1-cos3t)

Passo 6

Assim a parte particular fica
xp(t)=e^2ttfrac13sin3t-tfrac13(1-cos3t) =e^2t3sin3tcos3t-1
Logo a solução geral é

Passo 7

x(t)=e^AtC + e^2t3sin3tcos3t-1,
com Cin R^2 constantes de integração.

Resposta

x(t)=e^AtC + e^2t3sin3tcos3t-1

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