Teste a série quanto a convergência ou divergência.
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Passo 1
Temos várias séries às quais vamos aplicar principalmente três ferramentas: o teste do termo geral (se \lim a_n \neq 0 diverge), o teste de Leibniz para séries alternantes e o teste de convergência absoluta (comparação, razão).
Passo 2
Primeiro aplicamos o teste do termo geral nas séries cuja forma de a_n não tende a zero. Para a série 3, a_n = (-1)^n \frac{2n}{n+4} tem \lim_{n\to\infty} 2n/(n+4) = 2 \neq 0, logo diverge. De forma análoga, na série 6, a_n = (-1)^n \frac{3n-1}{2n+1} \to 3/2 \neq 0, logo também diverge.
Passo 3
Agora concentramos nas séries alternantes com a_n = (-1)^{n-1}b_n ou (-1)^n b_n em que b_n > 0, b_n decrescente e \lim b_n = 0. Isso vale para as séries 2 (b_n = 2/(2n+1)), 4 (b_n = 1/\sqrt{n+1}), 5 (b_n = 1/(2n+1)), 7 (b_n = n/\sqrt{n^3+2}), 9 (b_n = \sqrt{n}/(2n+3)), 10 (b_n = n2/(n3+4)) e 11 (b_n = e^{1/n}/n). Pelo teste de Leibniz, todas elas convergem.
Passo 4
Em seguida, para a série 8, a_n = (-1)^n \frac{n}{10^n}, aplicamos o teste da razão:
$$
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
= \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)/10{n+1}}{n/10n}
= \frac{1}{10} < 1,
$$
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
= \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)/10{n+1}}{n/10n}
= \frac{1}{10} < 1,
$$
portanto a série converge absolutamente e, em consequência, converge.
Passo 5
Por fim, para as séries 2, 4, 5, 7, 9, 10 e 11, mesmo convergindo pelo teste de Leibniz, seus termos absolutos b_n comparados a uma p-série ou uma forma ~1/n^p com p\le 1 divergem, logo todas convergem apenas condicionalmente.
Resposta
- Converge condicionalmente
- Diverge
- Converge condicionalmente
- Converge condicionalmente
- Diverge
- Converge condicionalmente
- Converge absolutamente
- Converge condicionalmente
- Converge condicionalmente
- Converge condicionalmente