Teste a série quanto a convergência ou divergência.
2. 23-25+27-29+211-cdots
3. -25+46-67+88-109+cdots
4. 1raiz2-1raiz3+1raiz4-1raiz5+1raiz6-cdots
5. llsumn-1^infty (-1)^n-12 n+1 & 6 sumn-1^infty (-1)^n-1ln (n+4)
6. sumn-1^infty(-1)^n 3 n-12 n+1
7. sumn-1^infty(-1)^n nraizn^3+2
8. sumn-1^infty(-1)^n n10^n
9. sumn-1^infty(-1)^n raizn2 n+3
10. sumn-1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4
11. sumn-1^infty(-1)^n-1 e^1 / nn

Passo 1

Temos várias séries às quais vamos aplicar principalmente três ferramentas: o teste do termo geral (se \lim a_n \neq 0 diverge), o teste de Leibniz para séries alternantes e o teste de convergência absoluta (comparação, razão).

Passo 2

Primeiro aplicamos o teste do termo geral nas séries cuja forma de a_n não tende a zero. Para a série 3, a_n = (-1)^n \frac{2n}{n+4} tem \lim_{n\to\infty} 2n/(n+4) = 2 \neq 0, logo diverge. De forma análoga, na série 6, a_n = (-1)^n \frac{3n-1}{2n+1} \to 3/2 \neq 0, logo também diverge.

Passo 3

Agora concentramos nas séries alternantes com a_n = (-1)^{n-1}b_n ou (-1)^n b_n em que b_n > 0, b_n decrescente e \lim b_n = 0. Isso vale para as séries 2 (b_n = 2/(2n+1)), 4 (b_n = 1/\sqrt{n+1}), 5 (b_n = 1/(2n+1)), 7 (b_n = n/\sqrt{n^3+2}), 9 (b_n = \sqrt{n}/(2n+3)), 10 (b_n = n2/(n3+4)) e 11 (b_n = e^{1/n}/n). Pelo teste de Leibniz, todas elas convergem.

Passo 4

Em seguida, para a série 8, a_n = (-1)^n \frac{n}{10^n}, aplicamos o teste da razão:
$$
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
= \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)/10{n+1}}{n/10n}
= \frac{1}{10} < 1,
$$
portanto a série converge absolutamente e, em consequência, converge.

Passo 5

Por fim, para as séries 2, 4, 5, 7, 9, 10 e 11, mesmo convergindo pelo teste de Leibniz, seus termos absolutos b_n comparados a uma p-série ou uma forma ~1/n^p com p\le 1 divergem, logo todas convergem apenas condicionalmente.

Resposta

  1. Converge condicionalmente
  2. Diverge
  3. Converge condicionalmente
  4. Converge condicionalmente
  5. Diverge
  6. Converge condicionalmente
  7. Converge absolutamente
  8. Converge condicionalmente
  9. Converge condicionalmente
  10. Converge condicionalmente

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