Determine se a série converge ou diverge.
3. sumn=1^infty n2 n^3+1
4. sumn=2^infty n^3n^4-1
5. sumn=1^infty n+1n raizn
6. sumn=1^infty n-1n^2 raizn
7. sumn=1^infty 9^n3+10^n
8. sumn=1^infty 4+3^n2^n
9. sumk=1^infty ln kk
10. sumn=0^infty 1+sen n10^n
11. sumk=1^infty raiz[3]kraizk^3+4 k+3
12. sumk=1^infty (2 k-1)(k^2-1)(k+1)(k^2+4)^2

Passo 1

Estamos analisando a convergência de várias séries numéricas usando testes como p-série, comparação, integral, série geométrica e critério da razão.

Passo 2

Para sumn=1^infty n2n^3+1 note que, para grandes n, n2n^3+1sim12n^2. Como sum1/n^2 é convergente (p-série com p=2>1), essa série converge por comparação.

Passo 3

Na série sumn=2^infty n^3n^4-1 temos n^3n^4-1sim1n. A p-série com p=1 diverge, logo nossa série diverge por comparação.

Passo 4

Para sumn=1^infty n+1nraizn separe em nn^3/2+1n^3/2=1n^1/2+1n^3/2. O termo dominante é 1/n^1/2 com p=1/2<1, então diverge.

Passo 5

Na série sumn=1^infty n-1n^2raizn escreva n-1n^5/2=1n^3/2-1n^5/2. Como p=3/2>1, ela converge por comparação com 1/n^3/2.

Passo 6

Em sumn=1^infty 9^n3+10^n note que 3 é desprezível para grandes n, ficando 9^n/10^n=(9/10)^n. É uma série geométrica com razão <1, logo converge.

Passo 7

Para sumn=1^infty 4+3^n2^n separe em 4/2^n+(3/2)^n. O segundo termo cresce (razão 3/2>1), portanto os termos não tendem a zero e a série diverge.

Passo 8

Na série sumk=1^infty ln kk aplique o teste da integral: integral1^infty (ln x)/x,dx=tfrac12(ln x)^2|1^infty=infty. Logo diverge.

Passo 9

Para sumn=0^infty 1+sin n10^n usamos que |1+sin n|<=2. Assim |an|<=2/10^n e sum2/10^n converge (geométrica), logo converge absolutamente.

Passo 10

Em sumk=1^infty raiz[3]kraizk^3+4k+3 note que raizk^3+4k+3sim k^3/2, então o termo é k^1/3/k^3/2=1/k^7/6 com p=7/6>1. Converge por comparação.

Passo 11

Na série sumk=1^infty (2k-1)(k^2-1)(k+1)(k^2+4)^2 para grandes k o numerador sim2k^3 e o denominador sim kcdot k^4=k^5, ficando sim2/k^2 com p=2>1. Converge por comparação.

Resposta

  1. Converge; 4. Diverge; 5. Diverge; 6. Converge; 7. Converge; 8. Diverge; 9. Diverge; 10. Converge; 11. Converge; 12. Converge.

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