Determine se a série converge ou diverge.
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Passo 1
Estamos analisando a convergência de várias séries numéricas usando testes como p-série, comparação, integral, série geométrica e critério da razão.
Passo 2
Para note que, para grandes , . Como é convergente (p-série com ), essa série converge por comparação.
Passo 3
Na série temos . A p-série com diverge, logo nossa série diverge por comparação.
Passo 4
Para separe em . O termo dominante é com , então diverge.
Passo 5
Na série escreva . Como , ela converge por comparação com .
Passo 6
Em note que é desprezível para grandes , ficando . É uma série geométrica com razão , logo converge.
Passo 7
Para separe em . O segundo termo cresce (razão ), portanto os termos não tendem a zero e a série diverge.
Passo 8
Na série aplique o teste da integral: . Logo diverge.
Passo 9
Para sumn=0^infty 1+sin n10^n usamos que |1+sin n|<=2. Assim |an|<=2/10^n e sum2/10^n converge (geométrica), logo converge absolutamente.
Passo 10
Em sumk=1^infty raiz[3]kraizk^3+4k+3 note que raizk^3+4k+3sim k^3/2, então o termo é k^1/3/k^3/2=1/k^7/6 com p=7/6>1. Converge por comparação.
Passo 11
Na série sumk=1^infty (2k-1)(k^2-1)(k+1)(k^2+4)^2 para grandes k o numerador sim2k^3 e o denominador sim kcdot k^4=k^5, ficando sim2/k^2 com p=2>1. Converge por comparação.