Aproxima-se um tubo de comprimento variável, e fechado em uma de suas extremidades, de um fio esticado de 52,0 cm de comprimento e massa igual a 9 g , sob uma tensão de 4010 N . Deseja-se ajustar o comprimento do tubo de modo que, quando ele produzir som em sua frequência fundamental, esse som faça o fio vibrar em seu 3^circ harmônico com uma amplitude bastante grande. Que comprimento o tubo deve ter?

Passo 1

O enunciado pede para ajustar o comprimento de um tubo de extremidade única fechada de modo que sua frequência fundamental coincida com o 3º harmônico de um fio esticado. O conteúdo envolve:
  1. Vibrações de uma corda fixa nas duas pontas (harmônicos).
  2. Ressonância em tubo fechado numa extremidade (modo fundamental).
    Vamos precisar da densidade linear da corda, da velocidade de onda na corda, do cálculo da frequência do 3º harmônico e da relação entre frequência fundamental e comprimento no tubo fechado.

Passo 2

Calculamos a densidade linear mu da corda, sabendo que m=9 g=0,009 kg e Ls=52,0 cm=0,520 m:
mu=mLs=0,0090,520approx0,01731 kg/m
A velocidade da onda na corda é
vcorda=raizTmu
com T=4010 N. Logo,
vcorda=raiz40100,01731approx481,4 m/s

Passo 3

A frequência do 3º harmônico da corda fixa nas duas pontas é
f3 = 3,vcorda2,Ls =3,481,42times0,520 approx1388,7 Hz

Passo 4

Num tubo fechado em uma extremidade, a frequência fundamental é
ftubo=var4,Lt,
onde var é a velocidade do som no ar. Assumindo var=343 m/s e impondo ftubo=f3, temos
Lt=var4,f3 =3434times1388,7 approx0,0618 m

Passo 5

Convertendo para centímetros,
Ltapprox6,18 cm

Resposta

O tubo deve ter comprimento de aproximadamente 6,18 cm.

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