(a) Mostre como é possível relacionar o movimento circular uniforme com o movimento harmônico simples (MHS).
(b) Escreva a expressão matemática da posição da projeção desse movimento circular no eixo x.
(c) Nesse tipo particular de movimento, como a frequência angular omega0 pode ser expressa em função do período de oscilação?

Passo 1

O enunciado trata de mostrar que o Movimento Harmônico Simples (MHS) é a projeção de um Movimento Circular Uniforme (MCU), pede a expressão da posição dessa projeção ao longo do eixo x e quer a relação entre a frequência angular omega0 e o período de oscilação T. Para isso vamos usar a descrição paramétrica do MCU e verificar que a componente x(t) satisfaz a equação do MHS.

Passo 2

Num MCU de raio A e velocidade angular omega0, a posição vetorial da partícula pode ser escrita em função do tempo por
vec r(t)=Acosl(omega0t+phi0r),hatimath ;+; Asinl(omega0t+phi0r),hatjmath,
onde phi0 é a fase inicial. A projeção dessa posição no eixo x é
x(t)=Acosl(omega0t+phi0r)

Passo 3

Para mostrar que x(t) executa MHS, calculamos a segunda derivada
d^2xdt^2 =d^2dt^2l[Acos(omega0t+phi0)r] =-omega0^2,Acos(omega0t+phi0) =-omega0^2,x(t)
Isso leva à equação diferencial do MHS
d^2xdt^2+omega0^2,x=0,
confirmando a relação entre MCU e MHS.

Passo 4

A expressão geral da posição da projeção no eixo x é
x(t)=Acosl(omega0t+phi0r),
onde A é a amplitude e phi0 a fase inicial.

Passo 5

O período de oscilação T está relacionado à frequência angular por
T=2piomega0 Longrightarrow omega0=2piT

Resposta

(a) O MHS é exatamente a projeção da posição de um MCU sobre um eixo, pois a componente x(t) descrita por Acos(omega0t+phi0) satisfaz tfracd^2xdt^2+omega0^2x=0.
(b) x(t)=Acosl(omega0t+phi0r).
(c) omega0=2piT.

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