(a) Mostre como é possível relacionar o movimento circular uniforme com o movimento harmônico simples (MHS).
(b) Escreva a expressão matemática da posição da projeção desse movimento circular no eixo
.
(c) Nesse tipo particular de movimento, como a frequência angular
pode ser expressa em função do período de oscilação?
(b) Escreva a expressão matemática da posição da projeção desse movimento circular no eixo
(c) Nesse tipo particular de movimento, como a frequência angular
Passo 1
O enunciado trata de mostrar que o Movimento Harmônico Simples (MHS) é a projeção de um Movimento Circular Uniforme (MCU), pede a expressão da posição dessa projeção ao longo do eixo
e quer a relação entre a frequência angular
e o período de oscilação
. Para isso vamos usar a descrição paramétrica do MCU e verificar que a componente
satisfaz a equação do MHS.
Passo 2
Num MCU de raio
e velocidade angular
, a posição vetorial da partícula pode ser escrita em função do tempo por
onde
é a fase inicial. A projeção dessa posição no eixo
é
Passo 3
Para mostrar que
executa MHS, calculamos a segunda derivada
Isso leva à equação diferencial do MHS
confirmando a relação entre MCU e MHS.
Passo 4
A expressão geral da posição da projeção no eixo
é
onde
é a amplitude e
a fase inicial.
Passo 5
O período de oscilação
está relacionado à frequência angular por
Resposta
(a) O MHS é exatamente a projeção da posição de um MCU sobre um eixo, pois a componente
descrita por
satisfaz
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)