Considere a Segunda Lei de Newton aplicada ao movimento de uma partícula sujeita a forças dissipativas e elásticas:
m d^2 x(t)d t^2=-beta d x(t)d t-k x(t)+F(t)
sendo beta e k constantes positivas.
(a) Quais são as forças horizontais atuando nesse sistema? Nomeie e interprete cada termo.
(b) Reescreva a equação utilizando os parâmetros gamma=beta2 m, omega0^2=km e f(t)=F(t)m, obtendo:
d^2 x(t)d t^2+2 gamma d x(t)d t+omega0^2 x(t)=f(t)
(c) Quais devem ser as unidades físicas das constantes beta e k ?
(d) Qual é a frequência natural de oscilação desse sistema (em rad / s )?

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de movimento de uma partícula sujeita a uma força elástica, uma força dissipativa e uma força externa:
m d^2x(t)dt^2 = -beta dx(t)dt - k,x(t) + F(t)
O conteúdo é a Segunda Lei de Newton para um oscilador harmônico amortecido e forçado. Vamos identificar cada termo, reescrever a equação em parâmetros padrão e encontrar as unidades e a frequência natural.

Passo 2

Para (a), comparamos cada termo à forma m,a = sum F:
  • -k,x(t) é a força elástica (lei de Hooke), que tende a restaurar a partícula à posição de equilíbrio x=0.
  • -beta,dxdt é a força de amortecimento viscoso, que se opõe ao movimento e dissipa energia.
  • F(t) é a força externa aplicada ao sistema.

Passo 3

Para (b), dividimos a equação toda por m e definimos
gamma = beta2m, omega0^2 = km, f(t) = F(t)m
Dividindo
d^2xdt^2 = -betam,dxdt - km,x + F(t)m,
obtemos
d^2xdt^2 + 2gamma,dxdt + omega0^2,x = f(t)

Passo 4

Para (c), igualamos unidades de cada termo a uma força ( N):
  • O termo beta,dxdt deve ter unidades de força, logo
[beta];times;ms = N Longrightarrow [beta] = Ncdotsm = kgs
  • O termo k,x deve ter unidades de força, logo
[k];times;m = N Longrightarrow [k] = Nm = kgs^2

Passo 5

Para (d), a frequência natural (sem amortecimento nem força externa) é
omega0 = raizkm l[rad/sr]

Resposta

(a) -k,x(t): força elástica de restauração; -beta,dot x(t): força de amortecimento viscoso; F(t): força externa.
(b) d^2xdt^2 + 2gamma,dxdt + omega0^2,x = f(t).
(c) [beta]=kg/s, [k]=kg/s^2
(d) omega0=raizkm rad/s.

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