Considere a Segunda Lei de Newton para o movimento vertical de um corpo sujeito apenas à força peso:
com condições iniciais
e
. Encontre
utilizando o método da transformada de Laplace 1
Após obter a solução:
(a) Faça um gráfico de
para diferentes valores de
e
.
(b) Interprete fisicamente a solução obtida: o que ela representa? Como o movimento depende das condições iniciais e da gravidade?
-
A ideia do exercício é treinar o uso da transformada de Laplace, então utilize exclusivamente esse método.
(a) Faça um gráfico de
(b) Interprete fisicamente a solução obtida: o que ela representa? Como o movimento depende das condições iniciais e da gravidade?
A ideia do exercício é treinar o uso da transformada de Laplace, então utilize exclusivamente esse método.
Passo 1
O enunciado nos dá a Segunda Lei de Newton para o movimento vertical de um corpo sujeito apenas à força peso, ou seja,
com as condições iniciais
e
. A tarefa é resolver essa EDO usando exclusivamente o método da transformada de Laplace para encontrar
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
Como
temos
Passo 3
Dividindo por
e isolando
obtemos
Passo 4
Fazemos a transformada inversa termo a termo, sabendo que
,
e
. Logo,
Passo 5
(a) O gráfico de
é uma família de parábolas com concavidade para baixo.
- Variar
desloca toda a parábola para cima ou para baixo. - Variar (v_{0}$ altera a inclinação inicial e a altura do vértice, dado por
(b) Fisicamente, a solução representa o movimento vertical sob aceleração constante
.
-
é a altura inicial. -
é a velocidade inicial (positiva para cima). - O termo
demonstra a desaceleração quando o corpo sobe e a aceleração para baixo quando ele desce, tudo controlado pela gravidade .)
Resposta
(a) Gráfico: parábolas com vértice em
, deslocadas verticalmente por
e com inclinação inicial
.
(b) Interpretação: livre queda ou lançamento vertical sob aceleração constante , em que
e
fixam as condições iniciais de posição e velocidade.
(b) Interpretação: livre queda ou lançamento vertical sob aceleração constante