Considere a Segunda Lei de Newton para o movimento vertical de um corpo sujeito apenas à força peso:
m d^2 y(t)d t^2=-m g
com condições iniciais y(0)=y0 e y^prime(0)=v0. Encontre y(t) utilizando o método da transformada de Laplace 1
Após obter a solução:
(a) Faça um gráfico de ^1 para diferentes valores de y(t) e y0.
(b) Interprete fisicamente a solução obtida: o que ela representa? Como o movimento depende das condições iniciais e da gravidade?

  1. v0 A ideia do exercício é treinar o uso da transformada de Laplace, então utilize exclusivamente esse método.

Passo 1

O enunciado nos dá a Segunda Lei de Newton para o movimento vertical de um corpo sujeito apenas à força peso, ou seja,
m ,d^2y(t)dt^2 ;=;-,m,g
com as condições iniciais y(0)=y0 e y'(0)=v0. A tarefa é resolver essa EDO usando exclusivamente o método da transformada de Laplace para encontrar y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
m ,d^2y(t)dt^2 ;=;-,m,g
Como
Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e L-m,g=-m,g;1s,
temos
ml(s^2Y(s)-s,y0-v0r) ;=; -m,gs

Passo 3

Dividindo por m e isolando Y(s) obtemos
s^2Y(s)-s,y0-v0=-gs Longrightarrow Y(s) =s,y0+v0s^2 -gs^3

Passo 4

Fazemos a transformada inversa termo a termo, sabendo que
L^-11/s=1,
L^-11/s^2=t e
L^-11/s^3=t^2/2. Logo,
y(t) = y0cdot 1 +v0cdot t -gcdott^22 = y0+v0,t-g,t^22

Passo 5

(a) O gráfico de
é uma família de parábolas com concavidade para baixo.
  • Variar desloca toda a parábola para cima ou para baixo.
  • Variar (v_{0}$ altera a inclinação inicial e a altura do vértice, dado por
    éé
(b) Fisicamente, a solução representa o movimento vertical sob aceleração constante .
  • é a altura inicial.
  • é a velocidade inicial (positiva para cima).
  • O termo demonstra a desaceleração quando o corpo sobe e a aceleração para baixo quando ele desce, tudo controlado pela gravidade .)

Resposta

y(t)=y0+v0,t-g,t^22
(a) Gráfico: parábolas com vértice em l(v0/g,;y0+v0^2/(2g)r), deslocadas verticalmente por y0 e com inclinação inicial v0.
(b) Interpretação: livre queda ou lançamento vertical sob aceleração constante -g, em que y0 e v0 fixam as condições iniciais de posição e velocidade.

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