Aproximação contínua: Suponha que, por alguma razão, queremos substituir a função f(x)=\operatorname{sen}(\pi x / 4) por um polinômio de terceiro grau no intervalo (0,1).
Como sabemos que sen( \pi x / 4 ) é uma função ímpar, isto é, f(-x)= - f(x), é natural que um polinômio ímpar seja usado no ajuste, isto é,
f(x)=\operatorname{sen}(\pi x / 4) \cong \alpha_{1} x+\alpha_{2} x^{3}
ou seja, g_{1}(x)=x e g_{2}(x)=x^{3}. Neste caso, sendo a aproximação no intervalo ( 0,1 ), devemos minimizar
<r, r>=\int_{0}^{1}\left(\operatorname{sen}(\pi x / 4)-\alpha_{1} x-\alpha_{2} x^{3}\right)^{2} d x
As condições de pontos críticos são
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial \alpha_{1}} & <r, r>=-\int_{0}^{1} 2 x\left(\operatorname{sen}(\pi x / 4)-\alpha_{1} x-\alpha_{2} x^{3}\right) d x=0 \\\ \frac{\partial}{\partial \alpha_{2}} & <r, r>=-\int_{0}^{1} 2 x^{3}\left(\operatorname{sen}(\pi x / 4)-\alpha_{1} x-\alpha_{2} x^{3}\right) d x=0 \end{aligned}
Assim, temos
\begin{aligned} & \alpha_{1} \int_{0}^{1} x^{2} d x+\alpha_{2} \int_{0}^{1} x^{4} d x=\int_{0}^{1} x \operatorname{sen}(\pi x / 4) d x \\\ & \alpha_{1} \int_{0}^{1} x^{4} d x+\alpha_{2} \int_{0}^{1} x^{6} d x=\int_{0}^{1} x^{3} \operatorname{sen}(\pi x / 4) d x \end{aligned}