Aproximação contínua: Suponha que, por alguma razão, queremos substituir a função f(x)=\operatorname{sen}(\pi x / 4) por um polinômio de terceiro grau no intervalo (0,1).
Como sabemos que sen( \pi x / 4 ) é uma função ímpar, isto é, f(-x)= - f(x), é natural que um polinômio ímpar seja usado no ajuste, isto é,
f(x)=\operatorname{sen}(\pi x / 4) \cong \alpha_{1} x+\alpha_{2} x^{3}
ou seja, g_{1}(x)=x e g_{2}(x)=x^{3}. Neste caso, sendo a aproximação no intervalo ( 0,1 ), devemos minimizar
<r, r>=\int_{0}^{1}\left(\operatorname{sen}(\pi x / 4)-\alpha_{1} x-\alpha_{2} x^{3}\right)^{2} d x
As condições de pontos críticos são
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial \alpha_{1}} & <r, r>=-\int_{0}^{1} 2 x\left(\operatorname{sen}(\pi x / 4)-\alpha_{1} x-\alpha_{2} x^{3}\right) d x=0 \\\ \frac{\partial}{\partial \alpha_{2}} & <r, r>=-\int_{0}^{1} 2 x^{3}\left(\operatorname{sen}(\pi x / 4)-\alpha_{1} x-\alpha_{2} x^{3}\right) d x=0 \end{aligned}
Assim, temos
\begin{aligned} & \alpha_{1} \int_{0}^{1} x^{2} d x+\alpha_{2} \int_{0}^{1} x^{4} d x=\int_{0}^{1} x \operatorname{sen}(\pi x / 4) d x \\\ & \alpha_{1} \int_{0}^{1} x^{4} d x+\alpha_{2} \int_{0}^{1} x^{6} d x=\int_{0}^{1} x^{3} \operatorname{sen}(\pi x / 4) d x \end{aligned}
resolvidas as integrais teremos
\begin{aligned} & \frac{1}{3} \alpha_{1}+\frac{1}{5} \alpha_{2}=0,246002 \\\ & \frac{1}{5} \alpha_{1}+\frac{1}{7} \alpha_{2}=0,145818 \end{aligned}
resolvendo esse sistema obtemos
\alpha_{1}=0,784815, \quad \alpha_{2}=-0,078015
Dessa maneira,
\operatorname{sen}(\pi x / 4) \cong 0,784815 x-0,078015 x^{3}
o resíduo é
<r, r>=\int_{0}^{1}\left(\operatorname{sen}(\pi x / 4)-0,784815 x+0,078015 x^{3}\right)^{2} d x=0,116.10^{-6}
que é o resíduo mínimo dentro das possíveis escolhas.

Passo 1

O enunciado pede aproximar a função
f(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{4}\bigr)
por um polinômio ímpar de grau 3 no intervalo (0,1), da forma
p(x)=\alpha_{1}\,x+\alpha_{2}\,x^{3},
minimizando o resíduo
\langle r,r\rangle=\int_{0}^{1}\bigl(\sin(\tfrac{\pi x}{4})-\alpha_{1}x-\alpha_{2}x^{3}\bigr)^{2}dx.
Vamos usar o método dos mínimos quadrados contínuos, gerando as condições normais.

Passo 2

As condições normais vêm de
\frac{\partial}{\partial\alpha_{i}}\langle r,r\rangle=0, \quad i=1,2,
isto é,
\begin{cases} \displaystyle \alpha_{1}\!\int_{0}^{1}x^{2}dx+\alpha_{2}\!\int_{0}^{1}x^{4}dx =\displaystyle \int_{0}^{1}x\sin(\tfrac{\pi x}{4})dx,\\[1em] \displaystyle \alpha_{1}\!\int_{0}^{1}x^{4}dx+\alpha_{2}\!\int_{0}^{1}x^{6}dx =\displaystyle \int_{0}^{1}x^{3}\sin(\tfrac{\pi x}{4})dx. \end{cases}
Calculamos as integrais do lado esquerdo (entradas da matriz Gram):
\int_{0}^{1}x^{2}dx=\tfrac{1}{3},\quad \int_{0}^{1}x^{4}dx=\tfrac{1}{5},\quad \int_{0}^{1}x^{6}dx=\tfrac{1}{7}.]

Passo 3

As integrais do lado direito obtêm-se por integração por partes e avaliação numérica, dando
\int_{0}^{1}x\sin(\tfrac{\pi x}{4})dx=0{,}246002, \quad \int_{0}^{1}x^{3}\sin(\tfrac{\pi x}{4})dx=0{,}145818.
Logo o sistema fica
\begin{cases} \tfrac{1}{3}\,\alpha_{1}+\tfrac{1}{5}\,\alpha_{2}=0{,}246002,\\[0.5em] \tfrac{1}{5}\,\alpha_{1}+\tfrac{1}{7}\,\alpha_{2}=0{,}145818. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema linear (por exemplo Regra de Cramer ou eliminação), obtemos
\alpha_{1}=0{,}784815, \quad \alpha_{2}=-0{,}078015.

Passo 5

O polinômio de melhor aproximação (grau 3 ímpar) em (0,1) é
p(x)=0{,}784815\,x-0{,}078015\,x^{3}.

Passo 6

O resíduo mínimo fica
\langle r,r\rangle =\int_{0}^{1}\bigl(\sin(\tfrac{\pi x}{4})-0{,}784815\,x+0{,}078015\,x^{3}\bigr)^{2}dx =0{,}116\times10^{-6}.

Resposta

A aproximação é
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{4}\bigr)\approx 0{,}784815\,x-0{,}078015\,x^{3},
com coeficientes \alpha_{1}=0{,}784815, \alpha_{2}=-0{,}078015 e resíduo mínimo \langle r,r\rangle=0{,}116\times10^{-6}.

Exercícios relacionados