Encontre a reta que aproxima melhor, via quadrados mínimos, as seguintes funções nos respectivos intervalos:
f(x)=x^{2}+3 x+2 em [0,1]

Passo 1

O enunciado pede a reta \ell(x)=ax+b que aproxima melhor, no sentido dos quadrados mínimos em [0,1], a função f(x)=x^{2}+3x+2. Vamos usar o fato de que o erro f(x)-\ell(x) deve ser ortogonal às funções 1 e x, gerando um sistema de equações normais.

Passo 2

Para impor a ortogonalidade, escrevemos
\int_{0}^{1}\bigl(f(x)-a x - b\bigr)\,dx = 0,
\int_{0}^{1}x\,\bigl(f(x)-a x - b\bigr)\,dx = 0.

Passo 3

Calculamos os integrais necessários:
\int_{0}^{1}f(x)\,dx = \int_{0}^{1}(x^{2}+3x+2)\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+2x\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}+\frac{3}{2}+2 = \frac{23}{6},
\int_{0}^{1}x\,f(x)\,dx = \int_{0}^{1}(x^{3}+3x^{2}+2x)\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}+x^{3}+x^{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}+1+1 = \frac{9}{4},
\int_{0}^{1}x\,dx = \frac{1}{2}, \qquad \int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \frac{1}{3}.

Passo 4

Substituindo nas equações normais, obtemos
\frac{23}{6} - a\cdot\frac{1}{2} - b = 0,
\frac{9}{4} - a\cdot\frac{1}{3} - b\cdot\frac{1}{2} = 0.
Multiplicando a primeira por 6 e a segunda por 12 resulta
3a + 6b = 23,
4a + 6b = 27.
Subtraindo a primeira da segunda dá a=4 e, ao substituir em 3a+6b=23, vem 6b=11, logo b=\tfrac{11}{6}.

Resposta

A reta de melhor aproximação por quadrados mínimos é
\ell(x) = 4x + \frac{11}{6}.

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