Em cada um dos itens abaixo, calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, onde \vec{n} é um vetor unitário normal exterior a S.
\vec{F}=x \vec{i}+y \vec{j}+z^{2} \vec{k} ; S a superfície da região Q=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1\right\}$.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=x\,\vec{i}+y\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k} pela superfície S que é a esfera unitária \{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}, tomando o vetor normal exterior. O conteúdo principal para resolver isso é o Teorema da Divergência, que transforma a integral de superfície num volume.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec{F}:
\mathrm{div}\,\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(y)+\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) =1+1+2z =2+2z.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\iiint_{Q}\mathrm{div}\,\vec{F}\,dV =\iiint_{Q}(2+2z)\,dV,
onde Q é a bola \{x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1\}.

Passo 4

Separamos a integral em duas partes:
\iiint_{Q}(2+2z)\,dV =2\iiint_{Q}dV \;+\;2\iiint_{Q}z\,dV.
Por simetria da bola em relação ao plano z=0, tem-se \iiint_{Q}z\,dV=0. Além disso,
\iiint_{Q}dV =\text{vol}(Q) =\frac{4}{3}\pi(1)^{3} =\frac{4\pi}{3}.

Passo 5

Logo,
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =2\cdot\frac{4\pi}{3} =\frac{8\pi}{3}.

Resposta

\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\frac{8\pi}{3}.

Exercícios relacionados