(Aproximação normal da Poisson). Sabe-se que
das peças produzidas por uma indústria apresentam defeito. Qual a probabilidade de que num lote com 300 peças tomadas ao acaso na linha de produção desta fábrica apresentam:
a) 5 peças defeituosas;
b) De 5 a 7 peças defeituosas;
c) Menos de 5 peças defeituosas;
d) 7 ou mais peças defeituosas.
a) 5 peças defeituosas;
b) De 5 a 7 peças defeituosas;
c) Menos de 5 peças defeituosas;
d) 7 ou mais peças defeituosas.
Passo 1
O enunciado e os dados que temos (tirei todos estes números do enunciado):
- Em cada peça a probabilidade de defeito é
. - Foi escolhido ao acaso um lote com
peças.
As perguntas são:
(a) Qual a probabilidade de exatamentepeças defeituosas?
(b) Qual a probabilidade de entree peças defeituosas (inclusive)?
(c) Qual a probabilidade de menos depeças defeituosas?
(d) Qual a probabilidade deou mais peças defeituosas?
Passo 2
Modelagem inicial e aproximações que vamos usar (explicando cada passo com calma).
- O modelo exato seria uma distribuição binomial com parâmetros
e . Ou seja, se é o número de defeituosas,
- Quando
é grande e é pequeno, é comum aproximar a binomial por uma Poisson com parâmetro . Aqui
Então podemos usar
- O enunciado sugere a “aproximação normal da Poisson”. Para a Poisson com parâmetro
podemos, por sua vez, aproximá-la por uma normal de média e variância , isto é,
Essa segunda aproximação (Poisson → Normal) é razoável quando
não é muito pequeno; aqui
é moderado, então a aproximação não será perfeita, mas é prática para cálculos sem tabelas de Poisson. Usaremos também a correção de continuidade (importantíssima quando se aproxima uma distribuição discreta por uma contínua).
Passo 3
Configuração da normal usada e a correção de continuidade.
- Para
temos
- Correção de continuidade: para calcular
usamos . Para usamos . Para usamos , e assim por diante. - Para transformar um valor
de em um valor da normal padrão usamos
As probabilidades serão obtidas por diferenças de
, onde
é a função de distribuição da normal padrão.
Passo 4
Cálculo dos desvios padronizados (z) que vamos usar repetidas vezes.
- Vou calcular
:
- Valores úteis (com correção de continuidade):
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
- Para
- Para referência rápida das
correspondentes (valores da tabela da normal padrão): -
-
-
-
(Usei simetria da normal:.)
-
Passo 5
Parte (a): probabilidade de exatamente
peças defeituosas.
- Em termos discretos queremos
. - Pela correção de continuidade, aproximamos por
- Em termos de
:
Substituindo os valores:
logo
Passo 6
Parte (b): probabilidade de entre
e
peças defeituosas (inclusive).
- Em termos discretos queremos
. - Pela correção de continuidade:
- Em
:
Usando os valores:
logo
Passo 7
Parte (c): probabilidade de menos de
peças defeituosas.
- "Menos de
" significa . - Pela correção de continuidade:
Usando o valor já calculado:
Passo 8
Parte (d): probabilidade de
ou mais peças defeituosas.
- "
ou mais" é . - Podemos escrever
. - Pela correção de continuidade,
Portanto
Passo 9
Breve comentário sobre arredondamento e precisão (para te deixar tranquilo).
- Todas as probabilidades foram obtidas aproximando a binomial por Poisson (
) e então a Poisson por uma normal com correção de continuidade. Para a aproximação é aceitável, mas não perfeita; se for necessário extremo rigor, usar a distribuição de Poisson exata (ou a binomial exata) daria valores ligeiramente diferentes. Aqui dei os valores com quatro casas decimais aproximadas e expliquei todos os passos para você poder reproduzir na prova.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)