(Aproximação normal da Poisson). Sabe-se que 2 \% das peças produzidas por uma indústria apresentam defeito. Qual a probabilidade de que num lote com 300 peças tomadas ao acaso na linha de produção desta fábrica apresentam:
a) 5 peças defeituosas;
b) De 5 a 7 peças defeituosas;
c) Menos de 5 peças defeituosas;
d) 7 ou mais peças defeituosas.

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (tirei todos estes números do enunciado):
  • Em cada peça a probabilidade de defeito é \,0{,}02.
  • Foi escolhido ao acaso um lote com 300 peças.
    As perguntas são:
    (a) Qual a probabilidade de exatamente 5 peças defeituosas?
    (b) Qual a probabilidade de entre 5 e 7 peças defeituosas (inclusive)?
    (c) Qual a probabilidade de menos de 5 peças defeituosas?
    (d) Qual a probabilidade de 7 ou mais peças defeituosas?

Passo 2

Modelagem inicial e aproximações que vamos usar (explicando cada passo com calma).
  • O modelo exato seria uma distribuição binomial com parâmetros n=300 e p=0{,}02. Ou seja, se X é o número de defeituosas,
X \sim \text{Binomial}(n=300,p=0{,}02).
  • Quando n é grande e p é pequeno, é comum aproximar a binomial por uma Poisson com parâmetro \lambda = n p. Aqui
\lambda = n p = 300 \times 0{,}02 = 6.
Então podemos usar
X \approx \text{Poisson}(\lambda=6).
  • O enunciado sugere a “aproximação normal da Poisson”. Para a Poisson com parâmetro \lambda podemos, por sua vez, aproximá-la por uma normal de média \lambda e variância \lambda, isto é,
Y \sim N(\mu=\lambda,\\ \sigma^2=\lambda)=N(6,6).
Essa segunda aproximação (Poisson → Normal) é razoável quando \lambda não é muito pequeno; aqui \lambda=6 é moderado, então a aproximação não será perfeita, mas é prática para cálculos sem tabelas de Poisson. Usaremos também a correção de continuidade (importantíssima quando se aproxima uma distribuição discreta por uma contínua).

Passo 3

Configuração da normal usada e a correção de continuidade.
  • Para Y\sim N(6,6) temos
\mu = 6,\qquad \sigma = \sqrt{6}\approx 2{,}449489743.
  • Correção de continuidade: para calcular P(X=k) usamos P(k-0{,}5 < Y < k+0{,}5). Para P(a\le X\le b) usamos P(a-0{,}5 < Y < b+0{,}5). Para P(X\le k) usamos P(Y<k+0{,}5), e assim por diante.
  • Para transformar um valor y de Y em um valor z da normal padrão usamos
z=\frac{y-\mu}{\sigma}.
As probabilidades serão obtidas por diferenças de \Phi(z), onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão.

Passo 4

Cálculo dos desvios padronizados (z) que vamos usar repetidas vezes.
  • Vou calcular \sigma=\sqrt{6}:
\sigma=\sqrt{6}\approx 2{,}449489743.
  • Valores úteis (com correção de continuidade):
    • Para y=4{,}5: z_{4{,}5}=\frac{4{,}5-6}{\sigma}=\frac{-1{,}5}{2{,}449489743}\approx -0{,}612372.
    • Para y=5{,}5: z_{5{,}5}=\frac{5{,}5-6}{\sigma}=\frac{-0{,}5}{2{,}449489743}\approx -0{,}204124.
    • Para y=6{,}5: z_{6{,}5}=\frac{6{,}5-6}{\sigma}=\frac{0{,}5}{2{,}449489743}\approx 0{,}204124.
    • Para y=7{,}5: z_{7{,}5}=\frac{7{,}5-6}{\sigma}=\frac{1{,}5}{2{,}449489743}\approx 0{,}612372.
  • Para referência rápida das \Phi correspondentes (valores da tabela da normal padrão):
    • \Phi(-0{,}612372)\approx 0{,}2709.
    • \Phi(-0{,}204124)\approx 0{,}4191.
    • \Phi(0{,}204124)\approx 0{,}5809.
    • \Phi(0{,}612372)\approx 0{,}7291.
      (Usei simetria da normal: \Phi(-z)=1-\Phi(z).)

Passo 5

Parte (a): probabilidade de exatamente 5 peças defeituosas.
  • Em termos discretos queremos P(X=5).
  • Pela correção de continuidade, aproximamos por
P(X=5)\approx P(4{,}5<Y<5{,}5).
  • Em termos de z:
P(4{,}5<Y<5{,}5)=\Phi(z_{5{,}5})-\Phi(z_{4{,}5}).
Substituindo os valores:
\Phi(z_{5{,}5})\approx 0{,}4191,\qquad \Phi(z_{4{,}5})\approx 0{,}2709,
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P(X=5)\approx 0{,}4191-0{,}2709=0{,}1482.

Passo 6

Parte (b): probabilidade de entre 5 e 7 peças defeituosas (inclusive).
  • Em termos discretos queremos P(5\le X\le 7).
  • Pela correção de continuidade:
P(5\le X\le 7)\approx P(4{,}5<Y<7{,}5).
  • Em z:
P(4{,}5<Y<7{,}5)=\Phi(z_{7{,}5})-\Phi(z_{4{,}5}).
Usando os valores:
\Phi(z_{7{,}5})\approx 0{,}7291,\qquad \Phi(z_{4{,}5})\approx 0{,}2709,
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P(5\le X\le 7)\approx 0{,}7291-0{,}2709=0{,}4582.

Passo 7

Parte (c): probabilidade de menos de 5 peças defeituosas.
  • "Menos de 5" significa X\le 4.
  • Pela correção de continuidade:
P(X\le 4)\approx P(Y<4{,}5)=\Phi(z_{4{,}5}).
Usando o valor já calculado:
P(X<5)\approx \Phi(z_{4{,}5})\approx 0{,}2709.

Passo 8

Parte (d): probabilidade de 7 ou mais peças defeituosas.
  • " 7 ou mais" é X\ge 7.
  • Podemos escrever P(X\ge 7)=1-P(X\le 6).
  • Pela correção de continuidade,
P(X\le 6)\approx P(Y<6{,}5)=\Phi(z_{6{,}5})\approx 0{,}5809.
Portanto
P(X\ge 7)\approx 1-0{,}5809=0{,}4191.

Passo 9

Breve comentário sobre arredondamento e precisão (para te deixar tranquilo).
  • Todas as probabilidades foram obtidas aproximando a binomial por Poisson ( \lambda=6) e então a Poisson por uma normal N(6,6) com correção de continuidade. Para \lambda=6 a aproximação é aceitável, mas não perfeita; se for necessário extremo rigor, usar a distribuição de Poisson exata (ou a binomial exata) daria valores ligeiramente diferentes. Aqui dei os valores com quatro casas decimais aproximadas e expliquei todos os passos para você poder reproduzir na prova.

Resposta

(a) 0,1482
(b) 0,4582
(c) 0,2709
(d) 0,4191

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