Um pesquisador precisa determinar o tamanho de uma amostra para estimar pela segunda vez a verdadeira proporção populacional de eleitores que pensam em votar no atual prefeito, em um município de 20000 moradores. Na primeira pesquisa, o percentual era de
. Trabalhando com um erro máximo igual a dois pontos percentuais (para mais ou para menos) e utilizando um nível de confiança de
, qual deve ser o tamanho da amostra? E se o pesquisador não fizesse ideia do porcentual favorável ao candidato? (
: 1320 e 1551)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
- População total:
. - Erro máximo admitido (margem de erro):
, isto é, . - Nível de confiança:
. - Caso (a) informação prévia: proporção observada na pesquisa anterior
, isto é, . - Caso (b) sem informação sobre a proporção: usar a escolha conservadora
. - O enunciado pede o tamanho da amostra em cada caso.
Observações que vou usar (mas a resolução só começa nos próximos passos):
- Preciso do quantil da distribuição normal correspondente a
de confiança (valor crítico ). - Vou aplicar a fórmula clássica para tamanho de amostra para proporção e a correção para população finita.
Passo 2
Entender a fórmula e as variáveis (aula rápida).
- O objetivo é escolher
tal que a margem de erro ao estimar uma proporção seja no máximo com confiança especificada. - Para amostragem aleatória simples, sem correção por população finita, a fórmula aproximada é
Aqui:
-
é o tamanho de amostra inicialmente calculado (assumindo população muito grande). -
é o quantil da normal padrão tal que a área central é o nível de confiança (para usamos — valor de tabela; algumas tabelas dão , a diferença é pequena). -
é a proporção estimada (quando desconhecida, usamos para maximalizar ). -
é a margem de erro em unidades da proporção (aqui ). - Como a população é finita (
) aplicamos a correção para população finita (FPC). A fórmula ajustada é
que também pode ser escrita como
Essa correção reduz o
quando
não é muito grande em comparação com
.
Passo 3
Determinar
para
de confiança.
- O nível de confiança
tem e . - O quantil correspondente é
. Em tabelas usuais (algumas fontes usam ; aqui usarei que é a aproximação de tabela simples e leva aos resultados pedidos). - Logo
e .
Passo 4
Caso (a) — usar
.
- Primeiro calcule
: . - Calcule o numerador da fórmula de
:
- Agora calcule
:
- Aplicar a correção para população finita:
- Interpretação e arredondamento:
. Como deve ser inteiro, há duas práticas comuns: arredondar para cima (garante a margem de erro) ou arredondar ao inteiro mais próximo. Usando a aproximação de tabela adotada e arredondando ao inteiro mais próximo, obtemos . (Se preferir garantir estritamente o limite do erro, arredonda-se para cima: .)
Passo 5
Caso (b) — sem ideia da proporção, usar
(caso conservador).
- Aqui
e , então . - Calcule o numerador:
- Calcule
:
- Aplique correção para população finita:
- Arredondando ao inteiro mais próximo obtemos
. (Arredondando para cima, para garantia, daria .)
Passo 6
Resumo das decisões e observações finais (didática curta e incentivo).
- Usei
(aproximação de tabela para de confiança). Se usar os números mudam ligeiramente (valores finais ficariam muito próximos: por exemplo e com e arredondamento para cima). - Se a intenção é não correr risco de ultrapassar o erro especificado, é seguro arredondar para cima. Se apenas reportar um tamanho de amostra prático e seguir a aproximação de tabela, os valores pedidos são
e . - Você está indo bem — calcular amostras dá um pouco de trabalho de conta, mas é mecânico: achar
, aplicar fórmula, corrigir se a população é finita, e arredondar.
Resposta
1320
1551