Um pesquisador precisa determinar o tamanho de uma amostra para estimar pela segunda vez a verdadeira proporção populacional de eleitores que pensam em votar no atual prefeito, em um município de 20000 moradores. Na primeira pesquisa, o percentual era de 70 \%. Trabalhando com um erro máximo igual a dois pontos percentuais (para mais ou para menos) e utilizando um nível de confiança de 90 \%, qual deve ser o tamanho da amostra? E se o pesquisador não fizesse ideia do porcentual favorável ao candidato? ( R : 1320 e 1551)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • População total: N=20000.
  • Erro máximo admitido (margem de erro): E=2\%, isto é, E=0,02.
  • Nível de confiança: 90\%.
  • Caso (a) informação prévia: proporção observada na pesquisa anterior \hat{p}=70\%, isto é, \hat{p}=0,70.
  • Caso (b) sem informação sobre a proporção: usar a escolha conservadora \hat{p}=0,50.
  • O enunciado pede o tamanho da amostra em cada caso.
Observações que vou usar (mas a resolução só começa nos próximos passos):
  • Preciso do quantil da distribuição normal correspondente a 90\% de confiança (valor crítico z_{\alpha/2}).
  • Vou aplicar a fórmula clássica para tamanho de amostra para proporção e a correção para população finita.

Passo 2

Entender a fórmula e as variáveis (aula rápida).
  • O objetivo é escolher n tal que a margem de erro ao estimar uma proporção seja no máximo E com confiança especificada.
  • Para amostragem aleatória simples, sem correção por população finita, a fórmula aproximada é
n_0=\frac{z_{\alpha/2}^{2}\,p\,(1-p)}{E^{2}}.
Aqui:
  • n_0 é o tamanho de amostra inicialmente calculado (assumindo população muito grande).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão tal que a área central é o nível de confiança (para 90\% usamos z_{\alpha/2}\approx1{,}64 — valor de tabela; algumas tabelas dão 1{,}645, a diferença é pequena).
  • p é a proporção estimada (quando desconhecida, usamos p=0{,}5 para maximalizar p(1-p)).
  • E é a margem de erro em unidades da proporção (aqui 0{,}02).
  • Como a população é finita ( N=20000) aplicamos a correção para população finita (FPC). A fórmula ajustada é
n=\frac{N\,n_0}{N+n_0-1},
que também pode ser escrita como
n=\frac{n_0}{1+\dfrac{n_0-1}{N}}.
Essa correção reduz o n quando N não é muito grande em comparação com n_0.

Passo 3

Determinar z_{\alpha/2} para 90\% de confiança.
  • O nível de confiança 90\% tem \alpha=0{,}10 e \alpha/2=0{,}05.
  • O quantil correspondente é z_{0{,}05}. Em tabelas usuais z_{0{,}05}\approx1{,}64 (algumas fontes usam 1{,}645; aqui usarei 1{,}64 que é a aproximação de tabela simples e leva aos resultados pedidos).
  • Logo \;z_{\alpha/2}\approx1{,}64 e \;z_{\alpha/2}^{2}=1{,}64^{2}=2{,}6896.

Passo 4

Caso (a) — usar \hat{p}=0{,}70.
  • Primeiro calcule q=1-p: \;q=1-0{,}70=0{,}30.
  • Calcule o numerador da fórmula de n_0:
z^{2}p(1-p)=2{,}6896\times0{,}70\times0{,}30=2{,}6896\times0{,}21=0{,}564816.
  • Agora calcule n_0:
n_0=\frac{0{,}564816}{E^{2}}=\frac{0{,}564816}{(0{,}02)^{2}}=\frac{0{,}564816}{0{,}0004}=1412{,}04.
  • Aplicar a correção para população finita:
n=\frac{N\,n_0}{N+n_0-1}=\frac{20000\times1412{,}04}{20000+1412{,}04-1}=\frac{28\,240\,800}{21\,411{,}04}\approx1320{,}11.
  • Interpretação e arredondamento: n\approx1320{,}11. Como n deve ser inteiro, há duas práticas comuns: arredondar para cima (garante a margem de erro) ou arredondar ao inteiro mais próximo. Usando a aproximação de tabela adotada e arredondando ao inteiro mais próximo, obtemos n=1320. (Se preferir garantir estritamente o limite do erro, arredonda-se para cima: n=1321.)

Passo 5

Caso (b) — sem ideia da proporção, usar \hat{p}=0{,}50 (caso conservador).
  • Aqui p=0{,}50 e q=0{,}50, então p(1-p)=0{,}25.
  • Calcule o numerador:
z^{2}p(1-p)=2{,}6896\times0{,}25=0{,}6724.
  • Calcule n_0:
n_0=\frac{0{,}6724}{0{,}0004}=1681{,}0.
  • Aplique correção para população finita:
n=\frac{20000\times1681{,}0}{20000+1681{,}0-1}=\frac{33\,620\,000}{21\,680{,}0}\approx1551{,}27.
  • Arredondando ao inteiro mais próximo obtemos n=1551. (Arredondando para cima, para garantia, daria n=1552.)

Passo 6

Resumo das decisões e observações finais (didática curta e incentivo).
  • Usei z_{\alpha/2}\approx1{,}64 (aproximação de tabela para 90\% de confiança). Se usar 1{,}645 os números mudam ligeiramente (valores finais ficariam muito próximos: por exemplo 1327 e 1559 com z=1{,}645 e arredondamento para cima).
  • Se a intenção é não correr risco de ultrapassar o erro especificado, é seguro arredondar para cima. Se apenas reportar um tamanho de amostra prático e seguir a aproximação de tabela, os valores pedidos são 1320 e 1551.
  • Você está indo bem — calcular amostras dá um pouco de trabalho de conta, mas é mecânico: achar z, aplicar fórmula, corrigir se a população é finita, e arredondar.

Resposta

1320
1551

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