Há 1 bola vermelha e 2 azuis na urna A. A urna B contém 2 bolas vermelhas e 4 azuis. Já a urna C tem 2 vermelhas e 1 azul. Uma bola é extraída ao acaso de A e colocada em B e em seguida retira-se uma de B para colocar em C. Uma bola então é extraída ao acaso de C. Desse modo, são extraídas três bolas no total. Seja X a v.a.d que conta o número de bolas vermelhas extraídas.
(a) (1 pt) Quais são os possíveis valores de X ?
(b) (1 pt) Obtenha a distribuição de probabilidade de X.
(c) ( 1 pt) Qual a probabilidade de que sejam extraídas pelo menos 2 bolas vermelhas?

Passo 1

O enunciado dá três urnas com as seguintes quantidades de bolas (peguei estes números do enunciado):
  • Urna A: 1 bola vermelha e 2 azuis (total 3).
  • Urna B: 2 vermelhas e 4 azuis (total 6).
  • Urna C: 2 vermelhas e 1 azul (total 3).
O procedimento (sequência de eventos) é:
  1. Retira-se uma bola de A e coloca-se em B.
  2. Retira-se uma bola de B (após o acréscimo) e coloca-se em C.
  3. Retira-se uma bola de C (após o acréscimo).
Define-se a variável aleatória X como o número de bolas vermelhas extraídas nessas três retiradas (ou seja, soma das três retiradas).
O enunciado pede:
(a) listar os possíveis valores de X;
(b) obter a distribuição de probabilidade de X (ou seja, P(X=k) para cada k);
(c) calcular P(X\ge 2).

Passo 2

Método que vou usar (explicando passo a passo): construir a árvore de probabilidades e aplicar probabilidades condicionais. Lembrete prático de probabilidades condicionais:
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A),
ou seja, a probabilidade de uma sequência de eventos é o produto das probabilidades em cada ramo, condicionando pelas escolhas anteriores. Vou listar todos os ramos possíveis (cores das três bolas: primeira de A, segunda de B, terceira de C), calcular a probabilidade de cada ramo multiplicando as probabilidades condicionais, e então somar as probabilidades dos ramos que têm o mesmo número de vermelhas para obter P(X=k).

Passo 3

Probabilidades da primeira retirada (de A) — direto dos números da urna A:
P(\text{primeira é vermelha})=P(R_1)=\frac{1}{3},\qquad P(\text{primeira é azul})=P(B_1)=\frac{2}{3}.éé

Passo 4

Composição da urna B após o envio da bola de A:
  • Se a bola enviada de A for vermelha, B passa a ter 3 vermelhas e 4 azuis (total 7). Então, condicionado a isso,
P(\text{tirar vermelha de }B\mid R_1)=\frac{3}{7},\qquad P(\text{tirar azul de }B\mid R_1)=\frac{4}{7}.
  • Se a bola enviada de A for azul, B passa a ter 2 vermelhas e 5 azuis (total 7). Então,
P(\text{tirar vermelha de }B\mid B_1)=\frac{2}{7},\qquad P(\text{tirar azul de }B\mid B_1)=\frac{5}{7}.

Passo 5

Composição da urna C após o envio da bola de B:
  • Se a bola enviada de B for vermelha, C passa a ter 3 vermelhas e 1 azul (total 4), então
P(\text{tirar vermelha de }C\mid \text{bola enviada a }C\text{ foi vermelha})=\frac{3}{4},
P(\text{tirar azul de }C\mid \text{bola enviada a }C\text{ foi vermelha})=\frac{1}{4}.
  • Se a bola enviada de B for azul, C passa a ter 2 vermelhas e 2 azuis (total 4), então
P(\text{tirar vermelha de }C\mid \text{bola enviada a }C\text{ foi azul})=\frac{1}{2},
P(\text{tirar azul de }C\mid \text{bola enviada a }C\text{ foi azul})=\frac{1}{2}.

Passo 6

Agora calculo as probabilidades de cada ramo completo (\text{cor em }A,\\ \text{cor em }B,\\ \text{cor em }C) multiplicando os fatores condicionais. Para cada ramo também conto quantas vermelhas foram extraídas (valor de X naquele ramo).
Caso \text{primeira}=R (probabilidade \tfrac{1}{3}):
  • (R,R,R):
P=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{28}.
Aqui X=3.
  • (R,R,B):
P=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{28}.
Aqui X=2.
  • (R,B,R):
P=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{7}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{21}.
Aqui X=2.
  • (R,B,B):
P=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{7}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{21}.
Aqui X=1.
Caso \text{primeira}=B (probabilidade \tfrac{2}{3}):
  • (B,R,R):
P=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{7}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{7}.
Aqui X=2.
  • (B,R,B):
P=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{7}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{21}.
Aqui X=1.
  • (B,B,R):
P=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{21}.
Aqui X=1.
  • (B,B,B):
P=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{21}.
Aqui X=0.
(Conferir que todas as probabilidades somam 1: \tfrac{3}{28}+\tfrac{1}{28}+\tfrac{2}{21}+\tfrac{2}{21}+\tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{21}+\tfrac{5}{21}+\tfrac{5}{21}=1.)

Passo 7

Somando as probabilidades dos ramos por valor de X:
  • Para X=3: apenas (R,R,R),
P(X=3)=\frac{3}{28}.
  • Para X=2: ramos (R,R,B),\\ (R,B,R),\\ (B,R,R). Somando:
P(X=2)=\frac{1}{28}+\frac{2}{21}+\frac{1}{7}.
Colocando em denominador comum 84:
P(X=2)=\frac{3}{84}+\frac{8}{84}+\frac{12}{84}=\frac{23}{84}.
  • Para X=1: ramos (R,B,B),\\ (B,R,B),\\ (B,B,R). Somando:
P(X=1)=\frac{2}{21}+\frac{1}{21}+\frac{5}{21}=\frac{8}{21}.
  • Para X=0: apenas (B,B,B),
P(X=0)=\frac{5}{21}.
Verificação rápida: transformar tudo em /84: P(X=3)=\tfrac{9}{84}, P(X=2)=\tfrac{23}{84}, P(X=1)=\tfrac{32}{84}, P(X=0)=\tfrac{20}{84}. Soma 9+23+32+20=84, ok.

Passo 8

Probabilidade de pelo menos 2 vermelhas:
P(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{23}{84}+\frac{3}{28}=\frac{23}{84}+\frac{9}{84}=\frac{32}{84}=\frac{8}{21}.

Resposta

(a) X\in\{0,1,2,3\}
(b) P(X=0)=\dfrac{5}{21}
P(X=1)=\dfrac{8}{21}
P(X=2)=\dfrac{23}{84}
P(X=3)=\dfrac{3}{28}
(c) P(X\ge 2)=\dfrac{8}{21}

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