Há 1 bola vermelha e 2 azuis na urna
. A urna
contém 2 bolas vermelhas e 4 azuis. Já a urna
tem 2 vermelhas e 1 azul. Uma bola é extraída ao acaso de
e colocada em
e em seguida retira-se uma de
para colocar em
. Uma bola então é extraída ao acaso de C. Desse modo, são extraídas três bolas no total. Seja
a v.a.d que conta o número de bolas vermelhas extraídas.
(a) (1 pt) Quais são os possíveis valores de
?
(b) (1 pt) Obtenha a distribuição de probabilidade de
.
(c) ( 1 pt) Qual a probabilidade de que sejam extraídas pelo menos 2 bolas vermelhas?
(a) (1 pt) Quais são os possíveis valores de
(b) (1 pt) Obtenha a distribuição de probabilidade de
(c) ( 1 pt) Qual a probabilidade de que sejam extraídas pelo menos 2 bolas vermelhas?
Passo 1
O enunciado dá três urnas com as seguintes quantidades de bolas (peguei estes números do enunciado):
- Urna
: bola vermelha e azuis (total ). - Urna
: vermelhas e azuis (total ). - Urna
: vermelhas e azul (total ).
O procedimento (sequência de eventos) é:
- Retira-se uma bola de
e coloca-se em . - Retira-se uma bola de
(após o acréscimo) e coloca-se em . - Retira-se uma bola de
(após o acréscimo).
Define-se a variável aleatória
como o número de bolas vermelhas extraídas nessas três retiradas (ou seja, soma das três retiradas).
O enunciado pede:
(a) listar os possíveis valores de ;
(b) obter a distribuição de probabilidade de (ou seja,
para cada
);
(c) calcular .
(a) listar os possíveis valores de
(b) obter a distribuição de probabilidade de
(c) calcular
Passo 2
Método que vou usar (explicando passo a passo): construir a árvore de probabilidades e aplicar probabilidades condicionais. Lembrete prático de probabilidades condicionais:
ou seja, a probabilidade de uma sequência de eventos é o produto das probabilidades em cada ramo, condicionando pelas escolhas anteriores. Vou listar todos os ramos possíveis (cores das três bolas: primeira de
, segunda de
, terceira de
), calcular a probabilidade de cada ramo multiplicando as probabilidades condicionais, e então somar as probabilidades dos ramos que têm o mesmo número de vermelhas para obter
.
Passo 3
Probabilidades da primeira retirada (de
) — direto dos números da urna
:
Passo 4
Composição da urna
após o envio da bola de
:
- Se a bola enviada de
for vermelha, passa a ter vermelhas e azuis (total ). Então, condicionado a isso,
- Se a bola enviada de
for azul, passa a ter vermelhas e azuis (total ). Então,
Passo 5
Composição da urna
após o envio da bola de
:
- Se a bola enviada de
for vermelha, passa a ter vermelhas e azul (total ), então
- Se a bola enviada de
for azul, passa a ter vermelhas e azuis (total ), então
Passo 6
Agora calculo as probabilidades de cada ramo completo
multiplicando os fatores condicionais. Para cada ramo também conto quantas vermelhas foram extraídas (valor de
naquele ramo).
Caso
(probabilidade
):
-
:
Aqui
.
-
:
Aqui
.
-
:
Aqui
.
-
:
Aqui
.
Caso
(probabilidade
):
-
:
Aqui
.
-
:
Aqui
.
-
:
Aqui
.
-
:
Aqui
.
(Conferir que todas as probabilidades somam
:
.)
Passo 7
Somando as probabilidades dos ramos por valor de
:
- Para
: apenas ,
- Para
: ramos . Somando:
Colocando em denominador comum
:
- Para
: ramos . Somando:
- Para
: apenas ,
Verificação rápida: transformar tudo em /84:
,
,
,
. Soma
, ok.
Passo 8
Probabilidade de pelo menos 2 vermelhas:
Resposta
(a)
(b)
(c)