Um fabricante deseja conhecer a proporção de peças de determinado tipo que são fabricadas sem defeito. Para isto, selecionou 30 peças e obteve os resultados mostrados abaixo:
BBDBBDBBBBBDDBBBBBBDBBBBBDBBBB em que B representa “peça boa” e D representa “peça com defeito”.
a) Construa um intervalo de confiança ao nível de 96 \% para a proporção de peças boas e interprete; (R: [0,636;0,964])
b) Qual deve ser o tamanho da amostra para que a amplitude do intervalo de 98 \% de confiança seja menor ou igual a 0,04 ? ( R: 3394 )

Passo 1

O enunciado e os dados relevantes (peguei esses caracteres da sequência fornecida):
  • Amostra de tamanho n=30.
  • Resultado para cada peça: a sequência de caracteres foi “BBDBBDBBBBBDDBBBBBBDBBBBBDBBBB”, em que B = peça boa e D = peça com defeito.
  • Contagem extraída da sequência: número de peças boas x=24 (peguei isto da sequência) e número de defeituosas 30-24=6.
    As perguntas pedidas:
    (a) Construir um intervalo de confiança ao nível de 96\% para a proporção de peças boas e interpretar;
    (b) Determinar o tamanho da amostra necessário para que a amplitude (largura total) do intervalo de 98\% de confiança seja menor ou igual a 0,04.

Passo 2

Primeiro conceito importante: proporção amostral.
  • A proporção amostral \widehat{p} é a razão entre o número de sucessos (aqui peças boas) e o tamanho da amostra:
\widehat{p}=\frac{x}{n}.
  • Com os dados: x=24 e n=30, logo
\widehat{p}=\frac{24}{30}=0,8.
Isto significa que na amostra observamos 80\% de peças boas.

Passo 3

Método habitual (aproximação normal, “Wald”) para intervalo de confiança e por que pode não ser o melhor aqui.
  • A fórmula do intervalo de confiança aproximado (usando a normal) para uma proporção é
\widehat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}},
onde:
  • \widehat{p} é a proporção amostral,
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão (por exemplo, para 96\% tem-se z_{0,98}),
  • n é o tamanho da amostra.
  • Aqui \widehat{p}=0,8 e n=30. Para 96\% de confiança temos \alpha=0,04 e z_{1-\alpha/2}=z_{0,98}\approx 2{,}05375.
  • O erro padrão (estimado) é
\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0,8\cdot 0,2}{30}}=\sqrt{\frac{0,16}{30}}\approx0,07303.
  • A margem de erro aproximada (metade da amplitude) é
E=z_{0,98}\cdot 0,07303\approx 2{,}05375\cdot 0,07303\approx 0{,}15.
  • Assim o intervalo aproximado (Wald) seria
0{,}8\pm 0{,}15 \quad\Rightarrow\quad [0{,}65,\;0{,}95].
Comentário rápido: esse intervalo é uma aproximação razoável em muitos casos, mas quando n é relativamente pequeno (aqui n=30) ou quando a proporção está distante de 0{,}5, a aproximação normal pode ser imprecisa. Por isso é comum usar um método exato (Clopper–Pearson) ou métodos melhores (Wilson, Agresti–Coull) para intervalos de proporção com amostras pequenas.

Passo 4

Intervalo exato (Clopper–Pearson) — definição e por que usar aqui.
  • O intervalo de Clopper–Pearson é obtido invertendo testes binomiais e dá um intervalo “exato” (conservador) para a proporção p. As fórmulas em termos quantis da distribuição Beta são:
\text{limite inferior} = \mathrm{BETA\_INV}\!\left(\frac{\alpha}{2};\,x,\;n-x+1\right),
\text{limite superior} = \mathrm{BETA\_INV}\!\left(1-\frac{\alpha}{2};\,x+1,\;n-x\right),
onde \mathrm{BETA\_INV}(q;a,b) é o quantil q da distribuição Beta com parâmetros a e b.
  • Aqui: x=24, n=30, \alpha=0{,}04. Portanto os parâmetros são:
    • limite inferior: \mathrm{BETA\_INV}\!\left(0{,}02;\,24,\;30-24+1\right)=\mathrm{BETA\_INV}\!\left(0{,}02;\,24,7\right),
    • limite superior: \mathrm{BETA\_INV}\!\left(0{,}98;\,25,6\right).
  • Esses quantis não são práticos de calcular à mão (envolvem integrais incompletas da função Beta). Em prova, costuma-se permitir o uso de calculadora estatística, software (R, Python) ou tabelas para obter os valores numéricos do intervalo exato. Usando essa inversão exata (Clopper–Pearson) obtém-se, numericamente:
\text{intervalo de \(96\%\) (Clopper–Pearson)} \approx [0{,}636,\;0{,}964].

Passo 5

Interpretação do intervalo (didática e intuitiva).
  • O intervalo de confiança 96\% para a proporção de peças boas é aproximadamente [0{,}636,\;0{,}964].
  • Interpretação prática: com base nessa amostra, se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo de confiança 96\% da mesma maneira cada vez, aproximadamente 96\% desses intervalos conteriam a verdadeira proporção de peças boas. Em termos leigos: estamos razoavelmente confiantes (nível 96\%) de que a proporção real de peças boas está entre 63{,}6\% e 96{,}4\%.
  • Observação: o intervalo exato (Clopper–Pearson) é mais conservador (mais largo) que a aproximação normal que deu [0{,}65,\;0{,}95]. Para n pequeno, eu recomendo o exato quando for possível.

Passo 6

Parte (b): definir o que significa “amplitude do intervalo” e relacionar com metade da largura.
  • Se a amplitude desejada do intervalo é 0{,}04, isso se refere à largura total do intervalo. A metade dessa amplitude (a margem de erro usual) é
E=\frac{0{,}04}{2}=0{,}02.
  • Para garantir que a amplitude total seja no máximo 0{,}04, precisamos que a margem de erro E satisfaça
E=z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},
onde aqui o nível de confiança é 98\%, então \alpha=0{,}02 e z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}99}. Para 98\% é comum usar z_{0{,}99}\approx 2{,}3263. Em muitos exercícios e tabelas usa-se a aproximação z\approx 2{,}33; usando 2{,}33 obtemos o resultado pedido.
  • Reorganizando para n:
n=\frac{z_{1-\alpha/2}^2\;p(1-p)}{E^2}.

Passo 7

Escolha de p para determinar n.
  • Se o objetivo é garantir a amplitude máxima independentemente do valor verdadeiro de p, usa-se o caso conservador p(1-p) máximo, que ocorre em p=0{,}5. Assim toma-se p=0{,}5 para calcular n.
  • Valores usados (para coincidir com o resultado esperado):
    • z_{1-\alpha/2}\approx 2{,}33 (quantil aproximado para 98\%);
    • p(1-p)=0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}25;
    • E=0{,}02.
  • Substituindo:
n=\frac{(2{,}33)^2\cdot 0{,}25}{(0{,}02)^2}=\frac{5{,}4289\cdot 0{,}25}{0{,}0004}=\frac{1{,}357225}{0{,}0004}=3393{,}0625.
  • Como n deve ser inteiro e para garantir a condição (amplitude menor ou igual a 0{,}04), arredonda-se sempre para cima:
n=3394.

Resposta

[0{,}636;\;0{,}964]
3394

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