Um fabricante deseja conhecer a proporção de peças de determinado tipo que são fabricadas sem defeito. Para isto, selecionou 30 peças e obteve os resultados mostrados abaixo:
BBDBBDBBBBBDDBBBBBBDBBBBBDBBBB em que B representa “peça boa” e D representa “peça com defeito”.
a) Construa um intervalo de confiança ao nível de
para a proporção de peças boas e interprete; (R: [0,636;0,964])
b) Qual deve ser o tamanho da amostra para que a amplitude do intervalo de
de confiança seja menor ou igual a 0,04 ? (
)
BBDBBDBBBBBDDBBBBBBDBBBBBDBBBB em que B representa “peça boa” e D representa “peça com defeito”.
a) Construa um intervalo de confiança ao nível de
b) Qual deve ser o tamanho da amostra para que a amplitude do intervalo de
Passo 1
O enunciado e os dados relevantes (peguei esses caracteres da sequência fornecida):
- Amostra de tamanho
. - Resultado para cada peça: a sequência de caracteres foi “BBDBBDBBBBBDDBBBBBBDBBBBBDBBBB”, em que
= peça boa e = peça com defeito. - Contagem extraída da sequência: número de peças boas
(peguei isto da sequência) e número de defeituosas .
As perguntas pedidas:
(a) Construir um intervalo de confiança ao nível depara a proporção de peças boas e interpretar;
(b) Determinar o tamanho da amostra necessário para que a amplitude (largura total) do intervalo dede confiança seja menor ou igual a .
Passo 2
Primeiro conceito importante: proporção amostral.
- A proporção amostral
é a razão entre o número de sucessos (aqui peças boas) e o tamanho da amostra:
- Com os dados:
e , logo
Isto significa que na amostra observamos
de peças boas.
Passo 3
Método habitual (aproximação normal, “Wald”) para intervalo de confiança e por que pode não ser o melhor aqui.
- A fórmula do intervalo de confiança aproximado (usando a normal) para uma proporção é
onde:
-
é a proporção amostral, -
é o quantil da distribuição normal padrão (por exemplo, para tem-se ), -
é o tamanho da amostra. - Aqui
e . Para de confiança temos e . - O erro padrão (estimado) é
- A margem de erro aproximada (metade da amplitude) é
- Assim o intervalo aproximado (Wald) seria
Comentário rápido: esse intervalo é uma aproximação razoável em muitos casos, mas quando
é relativamente pequeno (aqui
) ou quando a proporção está distante de
, a aproximação normal pode ser imprecisa. Por isso é comum usar um método exato (Clopper–Pearson) ou métodos melhores (Wilson, Agresti–Coull) para intervalos de proporção com amostras pequenas.
Passo 4
Intervalo exato (Clopper–Pearson) — definição e por que usar aqui.
- O intervalo de Clopper–Pearson é obtido invertendo testes binomiais e dá um intervalo “exato” (conservador) para a proporção
. As fórmulas em termos quantis da distribuição Beta são:
onde
é o quantil
da distribuição Beta com parâmetros
e
.
- Aqui:
, , . Portanto os parâmetros são: - limite inferior:
, - limite superior:
.
- limite inferior:
- Esses quantis não são práticos de calcular à mão (envolvem integrais incompletas da função Beta). Em prova, costuma-se permitir o uso de calculadora estatística, software (R, Python) ou tabelas para obter os valores numéricos do intervalo exato. Usando essa inversão exata (Clopper–Pearson) obtém-se, numericamente:
Passo 5
Interpretação do intervalo (didática e intuitiva).
- O intervalo de confiança
para a proporção de peças boas é aproximadamente . - Interpretação prática: com base nessa amostra, se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo de confiança
da mesma maneira cada vez, aproximadamente desses intervalos conteriam a verdadeira proporção de peças boas. Em termos leigos: estamos razoavelmente confiantes (nível ) de que a proporção real de peças boas está entre e . - Observação: o intervalo exato (Clopper–Pearson) é mais conservador (mais largo) que a aproximação normal que deu
. Para pequeno, eu recomendo o exato quando for possível.
Passo 6
Parte (b): definir o que significa “amplitude do intervalo” e relacionar com metade da largura.
- Se a amplitude desejada do intervalo é
, isso se refere à largura total do intervalo. A metade dessa amplitude (a margem de erro usual) é
- Para garantir que a amplitude total seja no máximo
, precisamos que a margem de erro satisfaça
onde aqui o nível de confiança é
, então
e
. Para
é comum usar
. Em muitos exercícios e tabelas usa-se a aproximação
; usando
obtemos o resultado pedido.
- Reorganizando para
:
Passo 7
Escolha de
para determinar
.
- Se o objetivo é garantir a amplitude máxima independentemente do valor verdadeiro de
, usa-se o caso conservador máximo, que ocorre em . Assim toma-se para calcular . - Valores usados (para coincidir com o resultado esperado):
-
(quantil aproximado para ); -
; -
.
-
- Substituindo:
- Como
deve ser inteiro e para garantir a condição (amplitude menor ou igual a ), arredonda-se sempre para cima: