(a) A aproximação de primeira ordem de f em (x, y)=(2,-2)
\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) & =\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x+y}{x-y}\right) \\\ & =\frac{\frac{\partial}{\partial x}(x+y)(x-y)-(x+y) \frac{\partial}{\partial x}(x-y)}{(x-y)^{2}} \\\ & =\frac{(1)(x-y)-(x+y)(1)}{(x-y)^{2}} \\\ & =\frac{-2 y}{(x-y)^{2}} \\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) & =\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x+y}{x-y}\right) \\\ & =\frac{\frac{\partial}{\partial y}(x+y)(x-y)-(x+y) \frac{\partial}{\partial y}(x-y)}{(x-y)^{2}} \\\ & =\frac{(1)(x-y)-(x+y)(-1)}{(x-y)^{2}} \\\ & =\frac{2 x}{(x-y)^{2}} \end{aligned}
Portanto \nabla f(x, y)=\left(\frac{-2 y}{(x-y)^{2}}, \frac{2 x}{(x-y)^{2}}\right).
\begin{aligned} f(2,-2) & =\frac{2+(-2)}{2-(-2)}=0 \\\ \nabla f(2,-2) & =\left(\frac{-2 \cdot(-2)}{(2-(-2))^{2}}, \frac{2 \cdot 2}{(2-(-2))^{2}}\right)=\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right) \end{aligned}
Segue que a aproximação de primeira ordem em (2,-2) é:
\begin{aligned} g(x, y) & =\langle\nabla f(2,-2),(x-2, y-(-2))\rangle+f(2,-2) \\\ & =\left\langle\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right),(x-2, y+2)\right\rangle+0 \\\ g(x, y) & =\frac{1}{4}(x-2)+\frac{1}{4}(y+2) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de primeira ordem (linearização) de
f(x,y)=\frac{x+y}{\,x-y\,}
em (2,-2). Para isso vamos usar o gradiente de f e a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 1:
g(x,y)=f(a,b)+\nabla f(a,b)\cdot\bigl((x-a),(y-b)\bigr).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais usando a regra do quociente.
Para \partial f/\partial x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{(1)(x-y)-(x+y)(1)}{(x-y)^{2}} =\frac{x-y-x-y}{(x-y)^{2}} =\frac{-2y}{(x-y)^{2}}.
Para \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{(1)(x-y)-(x+y)(-1)}{(x-y)^{2}} =\frac{x-y+x+y}{(x-y)^{2}} =\frac{2x}{(x-y)^{2}}.

Passo 3

Avaliar f e \nabla f em (2,-2):
f(2,-2)=\frac{2+(-2)}{2-(-2)}=0,
\nabla f(2,-2) =\Bigl(\frac{-2(-2)}{(2-(-2))^{2}},\,\frac{2\cdot2}{(2-(-2))^{2}}\Bigr) =\Bigl(\tfrac14,\tfrac14\Bigr).

Passo 4

Aplicar a fórmula da linearização centrad a em (2,-2):
g(x,y) =f(2,-2)+\nabla f(2,-2)\cdot\bigl((x-2),(y+2)\bigr) =0+\Bigl(\tfrac14,\tfrac14\Bigr)\cdot\bigl(x-2,y+2\bigr).
Ao multiplicar escalarmente e somar, obtemos
g(x,y)=\tfrac14(x-2)+\tfrac14(y+2).

Resposta

g(x,y)=\frac{1}{4}(x-2)+\frac{1}{4}(y+2).

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