(a) A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) em (x, y)=(\pi, 0)
\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) & =\frac{\partial}{\partial y}(x y+\cos (x y)) \\\ & =\frac{\partial}{\partial y}(x y)+\frac{\partial}{\partial y}(\cos y \circ(x y)) \\\ & =\frac{\partial}{\partial y}(x y)+\frac{\partial}{\partial y}(\cos y)(x y) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x y) \\\ & =x+(-\sin (x y)) \cdot x=x-x \sin x y \end{aligned}
Portanto \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=x-x \sin x y
Logo \frac{\partial f}{\partial y}(\pi, 0)=\pi-\pi \sin \pi .0=\pi.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x\,y+\cos\bigl(xy\bigr)
e pede a derivada parcial \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) no ponto (x,y)=(\pi,0).
Para resolver vamos usar as regras de derivação parcial e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) de forma geral:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(xy)\bigr).
A derivada de xy em relação a y é
\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x.
Para \cos(xy) aplicamos a regra da cadeia, com u=xy:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(u)\bigr) =-\sin(u)\,\frac{du}{dy} =-\sin(xy)\cdot x.
Somando os dois termos obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =x - x\sin(xy).

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y)=(\pi,0). Como \sin(\pi\cdot0)=\sin0=0, temos
\frac{\partial f}{\partial y}(\pi,0) =\pi - \pi\cdot0 =\pi.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(\pi,0)=\pi

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