(valor: 3,5) Resolva as integrais:
\int \ln \left(x^{2}-x-2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int \ln\bigl(x^{2}-x-2\bigr)\,dx
para x^2 - x - 2. Vamos usar integração por partes e depois frações parciais para resolver.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln\bigl(x^{2}-x-2\bigr), \quad dv = dx.
Então
du = \frac{2x-1}{x^{2}-x-2}\,dx, \quad v = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du
obtemos
\int \ln\bigl(x^{2}-x-2\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(x^{2}-x-2\bigr) - \int x\;\frac{2x-1}{x^{2}-x-2}\,dx.

Passo 4

No integrando, faça a divisão polinomial:
\frac{x\,(2x-1)}{x^{2}-x-2} = \frac{2x^{2}-x}{x^{2}-x-2} = 2 + \frac{x+4}{x^{2}-x-2}.
Logo
\int x\;\frac{2x-1}{x^{2}-x-2}\,dx = \int \Bigl(2 + \frac{x+4}{x^{2}-x-2}\Bigr)\,dx = 2x + \int \frac{x+4}{x^{2}-x-2}\,dx.

Passo 5

Para a segunda integral, escreva
\frac{x+4}{x^{2}-x-2} = \frac12\;\frac{2x-1}{x^{2}-x-2} + \frac{9}{2}\;\frac{1}{x^{2}-x-2}.
Então
\int \frac{x+4}{x^{2}-x-2}\,dx = \frac12 \int \frac{2x-1}{x^{2}-x-2}\,dx + \frac{9}{2} \int \frac{dx}{x^{2}-x-2}.
A primeira parte é
\frac12 \ln\bigl|x^{2}-x-2\bigr|.
Para a segunda, fatoramos x^{2}-x-2=(x-2)(x+1) e usamos frações parciais:
\frac{1}{(x-2)(x+1)} = \frac{1/3}{x-2} - \frac{1/3}{x+1}.
Assim
\int \frac{dx}{x^{2}-x-2} = \frac{1}{3}\ln\bigl|x-2\bigr| - \frac{1}{3}\ln\bigl|x+1\bigr|.

Passo 6

Reunindo tudo:
\int \ln\bigl(x^{2}-x-2\bigr)\,dx = x\ln\bigl(x^{2}-x-2\bigr) - \Bigl[2x + \frac12 \ln\bigl|x^{2}-x-2\bigr| + \frac{9}{2}\Bigl(\tfrac{1}{3}\ln\!\lvert x-2\rvert - \tfrac{1}{3}\ln\!\lvert x+1\rvert\Bigr)\Bigr] + C.
Simplificando:
= \underbrace{\Bigl(x - \tfrac12\Bigr)\ln\bigl|x^{2}-x-2\bigr|}_{\text{termo por partes}} -2x -\tfrac{3}{2}\ln\bigl|x-2\bigr| +\tfrac{3}{2}\ln\bigl|x+1\bigr| + C.

Resposta

\boxed{ \int \ln\bigl(x^{2}-x-2\bigr)\,dx = \Bigl(x - \tfrac12\Bigr)\ln\bigl|x^{2}-x-2\bigr| -2x -\tfrac{3}{2}\ln\bigl|x-2\bigr| +\tfrac{3}{2}\ln\bigl|x+1\bigr| + C. }

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