(valor: 1,5 ) Para resolver uma integral I=\int f(x) d x, um aluno fez uso da seguinte substituição trigonométrica: x=\frac{5 \tan \theta}{3}. No decorrer das contas, ele concluiu que I=\theta+\frac{\operatorname{sen}(4 \theta)}{4}+C em que C é a constante de integração. Indique qual das alternativas abaixo representa a resposta da integral, justificando sua resposta.
(a) I=\arctan \left(\frac{3 x}{5}\right)+\frac{375 x-135 x^{3}}{\sqrt{\left(25+9 x^{2}\right)}}+C
(b) I=\arctan \left(\frac{3 x}{5}\right)+\frac{375 x-135 x^{3}}{\left(25+9 x^{2}\right)^{2}}+C
(c) I=\arctan \left(\frac{5 x}{3}\right)+\frac{x-25 x^{3}}{\left(25+9 x^{2}\right)^{2}}+C
(d) I=\arctan \left(\frac{3 x}{5}\right)+\frac{\left.375 x-135 x^{3}\right)}{\sqrt{\left(25-9 x^{2}\right)}}+C

Passo 1

O enunciado dá que, após a substituição trigonométrica
x = \frac{5\tan\theta}{3},
o aluno obteve
I = \theta + \frac{\sin(4\theta)}{4} + C.
Para voltar a x, precisamos achar \theta em função de x e expressar \sin(4\theta) em termos de \tan\theta.

Passo 2

Da relação x = \tfrac{5\tan\theta}{3}, segue
\tan\theta = \frac{3x}{5},
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\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{3x}{5}\bigr).

Passo 3

Usamos a identidade
\sin(4\theta)=\frac{4\tan\theta\,(1-\tan^2\theta)}{(1+\tan^2\theta)^2}.
Dividindo por 4 obtemos
\frac{\sin(4\theta)}{4} =\frac{\tan\theta\,(1-\tan^2\theta)}{(1+\tan^2\theta)^2}.

Passo 4

Substituindo \tan\theta=\tfrac{3x}{5}:
o numerador é
\tan\theta\,(1-\tan^2\theta) =\frac{3x}{5}\Bigl(1-\frac{9x^2}{25}\Bigr) =\frac{75x-27x^3}{125},
e o denominador é
(1+\tan^2\theta)^2 =\Bigl(1+\frac{9x^2}{25}\Bigr)^2 =\frac{(25+9x^2)^2}{625}.
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\frac{\sin(4\theta)}{4} =\frac{\frac{75x-27x^3}{125}}{\frac{(25+9x^2)^2}{625}} =\frac{75x-27x^3}{125}\cdot\frac{625}{(25+9x^2)^2} =\frac{375x-135x^3}{(25+9x^2)^2}.

Passo 5

Portanto
I =\theta+\frac{\sin(4\theta)}{4}+C =\arctan\!\Bigl(\tfrac{3x}{5}\Bigr) +\frac{375x-135x^3}{(25+9x^2)^2}+C.
Isso coincide com a alternativa (b).

Resposta

(b)

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