(valor: 1,5 ) Para resolver uma integral
, um aluno fez uso da seguinte substituição trigonométrica:
. No decorrer das contas, ele concluiu que
em que
é a constante de integração. Indique qual das alternativas abaixo representa a resposta da integral, justificando sua resposta.
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá que, após a substituição trigonométrica
o aluno obteve
Para voltar a
, precisamos achar
em função de
e expressar
em termos de
.
Passo 2
Da relação
, segue
logo
Passo 3
Usamos a identidade
Dividindo por 4 obtemos
Passo 4
Substituindo
:
o numerador é
o numerador é
e o denominador é
Logo
Passo 5
Portanto
Isso coincide com a alternativa (b).
Resposta
(b)