Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em uma camada limite laminar e incompressível é uma variação parabólica de u=0 na superficie (y=0) até a velocidade de corrente livre, U, na borda da camada limite (y=\delta). A equação do perfil é u / U= 2(\pi \mathrm{y} / \delta)-(\mathrm{y} / \delta)^{2}, em que \delta=\mathrm{cx}^{1 / 2}, sendo c uma constante. Mostre que a expressão mais simples para a componente y da velocidade é
\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{U}}=\frac{\delta}{\mathrm{x}}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{y}}{\delta}\right)^{2}-\frac{1}{3}\left(\frac{\mathrm{y}}{\delta}\right)^{3}\right]
a) Determine o local do máximo valor da razão v / U.
b) Determine a razão em que \delta=5 \mathrm{~mm} e \mathrm{x}=0,5 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Perfil parabólico (dado) para a componente x da velocidade:
\frac{u}{U}=2\left(\frac{y}{\delta}\right)-\left(\frac{y}{\delta}\right)^{2}.
  • A espessura da camada limite depende de x conforme
\delta = c\,x^{1/2},
em que c é constante e U é a velocidade da corrente livre (constante).
  • Condição na superfície sólida: v(x,0)=0 (sem penetração).
  • Pede:
    a) determinar o local do máximo da razão v/U (ou seja, o valor de y onde v/U é máximo e o valor máximo);
    b) calcular numericamente essa razão quando \delta=5\\ \text{mm} e x=0{,}5\\ \text{m}.
Dados listados: a expressão de u/U, a relação \delta(x), e a condição v(x,0)=0. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Ferramenta fundamental: equação da continuidade para escoamento bidimensional incompressível e estacionário. Vou explicar e usar passo a passo.
  • A continuidade diz que a variação de massa por unidade de volume é zero; em 2D isso é
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Aqui u(x,y) é a componente horizontal da velocidade, v(x,y) a vertical; ambas têm dependência em x e y.
  • Isolando \partial v/\partial y e integrando em y (usando v(x,0)=0) obtemos
\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial u}{\partial x} \quad\Longrightarrow\quad v(x,y) = -\int_{0}^{y} \frac{\partial u}{\partial x}(x,y')\,dy'.
Essa integral dá v em termos de variação de u com x.

Passo 3

Agora usamos a forma dada de u. É prático introduzir a variável adimensional
\eta \equiv \frac{y}{\delta(x)}.
Defino a função de forma f(\eta) tal que
\frac{u}{U}=f(\eta)=2\eta-\eta^{2}.
Note que f depende de \eta e \eta depende de x (porque \delta(x) depende de x). Vou calcular \partial u/\partial x aplicando a regra da cadeia.
  • Primeiro escrevo u(x,y)=U\,f\big(\eta(x,y)\big). Aplicando a derivada parcial em x, com y fixo:
\frac{\partial u}{\partial x}=U\,f'(\eta)\,\frac{\partial \eta}{\partial x}.
  • Calculo \partial \eta/\partial x. Como \eta=y/\delta(x),
\frac{\partial \eta}{\partial x} = -\,\frac{y}{\delta^{2}}\,\frac{d\delta}{dx} = -\eta\frac{1}{\delta}\frac{d\delta}{dx}.
  • Portanto
\frac{\partial u}{\partial x} = U\,f'(\eta)\left(-\eta\frac{1}{\delta}\frac{d\delta}{dx}\right) = -U\,f'(\eta)\,\eta\,\frac{1}{\delta}\frac{d\delta}{dx}.

Passo 4

Substituo \partial u/\partial x na fórmula para v. Lembre que
v(x,y) = -\int_{0}^{y} \frac{\partial u}{\partial x}(x,y')\,dy'.
Com a expressão achada,
v(x,y) = -\int_{0}^{y} \left[-U\,f'(\eta')\,\eta'\,\frac{1}{\delta}\frac{d\delta}{dx}\right] dy' = U\,\frac{1}{\delta}\frac{d\delta}{dx}\int_{0}^{y} f'(\eta')\,\eta'\,dy',
onde \eta' = y'/\delta. Vou mudar a variável de integração de y' para \eta'. Como y'=\delta\,\eta' fixo x na integração sobre y', tem dy'=\delta\,d\eta'. Assim
v(x,y) = U\,\frac{1}{\delta}\frac{d\delta}{dx}\int_{0}^{\eta} f'(\eta')\,\eta'\,\delta\,d\eta' = U\,\frac{d\delta}{dx}\int_{0}^{\eta} f'(\eta')\,\eta'\,d\eta',
com \eta=y/\delta.

Passo 5

Agora substituo f(\eta)=2\eta-\eta^{2} e calculo a integral:
  • Derivada: f'(\eta)=2-2\eta.
  • Produto: f'(\eta)\,\eta = (2-2\eta)\eta = 2\eta-2\eta^{2}.
  • Integro de 0 a \eta:
\int_{0}^{\eta} (2\xi-2\xi^{2})\,d\xi = \left[\xi^{2}-\tfrac{2}{3}\xi^{3}\right]_{0}^{\eta} = \eta^{2}-\tfrac{2}{3}\eta^{3}.
Portanto
\frac{v}{U}=\frac{d\delta}{dx}\left(\eta^{2}-\tfrac{2}{3}\eta^{3}\right).

Passo 6

Agora uso a relação \delta = c\,x^{1/2} para simplificar \dfrac{d\delta}{dx}.
  • Diferenciando \delta em relação a x:
\frac{d\delta}{dx} = \frac{1}{2}c\,x^{-1/2} = \frac{1}{2}\frac{c\,x^{1/2}}{x} = \frac{1}{2}\frac{\delta}{x}.
  • Substituindo em \dfrac{v}{U}:
\frac{v}{U} = \frac{\delta}{2x}\left(\eta^{2}-\tfrac{2}{3}\eta^{3}\right) = \frac{\delta}{x}\left(\tfrac{1}{2}\eta^{2}-\tfrac{1}{3}\eta^{3}\right).
Lembrando \eta=y/\delta, obtemos exatamente a expressão pedida:
\frac{v}{U}=\frac{\delta}{x}\left[\tfrac{1}{2}\left(\frac{y}{\delta}\right)^{2}-\tfrac{1}{3}\left(\frac{y}{\delta}\right)^{3}\right].

Passo 7

Parte (a): localizar o máximo de \dfrac{v}{U} em y.
  • É mais simples olhar a função adimensional
g(\eta)=\tfrac{1}{2}\eta^{2}-\tfrac{1}{3}\eta^{3},
pois \dfrac{v}{U}=(\delta/x)\,g(\eta) e \delta/x>0 para x>0. O máximo em y corresponde ao máximo de g(\eta) para 0\le \eta\le 1 (a borda da camada limite é \eta=1).
  • Derivo g em relação a \eta:
g'(\eta)=\eta-\eta^{2}=\eta(1-\eta).
Soluções críticas: \eta=0 e \eta=1.
  • Classificação:
    • g''(\eta)=1-2\eta. Em \eta=0, g''(0)=1>0 (mínimo).
    • Em \eta=1, g''(1)=-1<0 (máximo).
  • Portanto o máximo local acontece em \eta=1, ou seja em
y=\delta.
  • Valor máximo:
g(1)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6},
logo o valor máximo da razão é
\left(\frac{v}{U}\right)_{\max}=\frac{\delta}{x}\cdot\frac{1}{6}=\frac{\delta}{6x}.

Passo 8

Parte (b): calcular numericamente para \delta=5\\ \text{mm}=0{,}005\\ \text{m} e x=0{,}5\\ \text{m}.
  • Calculo \delta/x:
\frac{\delta}{x}=\frac{0{,}005}{0{,}5}=0{,}01.
  • Valor máximo:
\left(\frac{v}{U}\right)_{\max}=\frac{\delta}{6x}=0{,}01\cdot\frac{1}{6}=0{,}001666\ldots
Arredondando razoavelmente,
\left(\frac{v}{U}\right)_{\max}\approx 0{,}001667.

Resposta

(a) máximo em y=\delta; valor máximo \displaystyle \frac{v}{U}=\frac{\delta}{6x}.
(b) \displaystyle \left(\frac{v}{U}\right)_{\max}\approx 0{,}001667.

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