Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em uma camada limite laminar e incompressível é uma variação parabólica de
na superficie
até a velocidade de corrente livre,
, na borda da camada limite
. A equação do perfil é
, em que
, sendo c uma constante. Mostre que a expressão mais simples para a componente y da velocidade é
a) Determine
local do máximo valor da razão
.
b) Determine a razão em que
e
.
b) Determine a razão em que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Perfil parabólico (dado) para a componente
da velocidade:
- A espessura da camada limite depende de
conforme
em que
é constante e
é a velocidade da corrente livre (constante).
- Condição na superfície sólida:
(sem penetração). - Pede:
a) determinar o local do máximo da razão(ou seja, o valor de onde é máximo e o valor máximo);
b) calcular numericamente essa razão quandoe .
Dados listados: a expressão de
, a relação
, e a condição
. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Ferramenta fundamental: equação da continuidade para escoamento bidimensional incompressível e estacionário. Vou explicar e usar passo a passo.
- A continuidade diz que a variação de massa por unidade de volume é zero; em 2D isso é
Aqui
é a componente horizontal da velocidade,
a vertical; ambas têm dependência em
e
.
- Isolando
e integrando em (usando ) obtemos
Essa integral dá
em termos de variação de
com
.
Passo 3
Agora usamos a forma dada de
. É prático introduzir a variável adimensional
Defino a função de forma
tal que
Note que
depende de
e
depende de
(porque
depende de
). Vou calcular
aplicando a regra da cadeia.
- Primeiro escrevo
. Aplicando a derivada parcial em , com fixo:
- Calculo
. Como ,
- Portanto
Passo 4
Substituo
na fórmula para
. Lembre que
Com a expressão achada,
onde
. Vou mudar a variável de integração de
para
. Como
fixo
na integração sobre
, tem
. Assim
com
.
Passo 5
Agora substituo
e calculo a integral:
- Derivada:
. - Produto:
. - Integro de
a :
Portanto
Passo 6
Agora uso a relação
para simplificar
.
- Diferenciando
em relação a :
- Substituindo em
:
Lembrando
, obtemos exatamente a expressão pedida:
Passo 7
Parte (a): localizar o máximo de
em
.
- É mais simples olhar a função adimensional
pois
e
para
. O máximo em
corresponde ao máximo de
para
(a borda da camada limite é
).
- Derivo
em relação a :
Soluções críticas:
e
.
- Classificação:
-
. Em , (mínimo). - Em
, (máximo).
-
- Portanto o máximo local acontece em
, ou seja em
- Valor máximo:
logo o valor máximo da razão é
Passo 8
Parte (b): calcular numericamente para
e
.
- Calculo
:
- Valor máximo:
Arredondando razoavelmente,
Resposta
(a) máximo em
; valor máximo
(b)
(b)