Considere uma aleta retangular muito longa fixada a superfície plana, de tal forma que a temperatura na sua ponta seja essencialmente a mesma do ar circundante, ou seja, 20^{\circ} \mathrm{C}. Sua largura é de 5 cm ; espessura 1 mm ; condutividade térmica 200 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}; e temperatura da base 40^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor é de 20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Estime a temperatura da aleta à distância de 5 cm da base e a taxa de perda de calor em toda a aleta.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Montar o balanço de energia diferencial (a equação de condução unidimensional com perda convectiva lateral).
Para um elemento diferencial de aleta, o balanço (assumindo propriedades constantes e fluxo unidimensional) leva à equação diferencial:
\frac{d^2\theta}{dx^2} - m^2 \theta = 0,
onde o parâmetro m é definido por
m^2=\frac{hP}{kA_c}.
Explicando fisicamente:
O termo \frac{d^2\theta}{dx^2} vem da segunda derivada espacial da temperatura (condução ao longo da aleta).
O termo m^2 \theta representa a perda de calor por convecção nas faces laterais, proporcional a \theta.
A_c é a área que conduz calor longitudinalmente; P é o perímetro que convete com o fluido; h e k como dados.
Passo 4
Resolver a equação diferencial com as condições de contorno para uma aleta muito longa (condição de ponta à temperatura do ar).
A solução geral é
\theta(x) = C_1 e^{m x} + C_2 e^{-m x}.
As condições são \theta(0)=\theta_b com \theta_b=T_b-T_\infty, e \theta(x\to\infty)\to 0. A componente e^{m x} diverge para x\to\infty, portanto C_1=0. Assim
\theta(x) = \theta_b\, e^{-m x}.
Em termos de temperaturas:
T(x) = T_\infty + (T_b-T_\infty)\,e^{-m x}.
Passo 5
Calcular o valor numérico de m.
Primeiro calculamos hP e kA_c:
hP = 20\cdot 0{,}102 = 2{,}04\quad\text{(unidade: W/m·K·m = W/K)}.
Comentário curto: m tem dimensão inversa de comprimento e determina a escala de decaimento térmico ao longo da aleta; quanto maior m, mais rápido a temperatura cai para T_\infty.
Passo 6
Calcular a temperatura à distância x=5\\ \text{cm}=0{,}05\\ \text{m}.
A diferença de temperatura na base é
Arredondando: q \approx 2{,}86\\ \mathrm{W}. Este valor é a taxa total de perda de calor da aleta para o ar ambiente, sob as hipóteses usadas (aleta muito longa, propriedades constantes, convecção uniforme).
Resposta
Temperatura em x=5\\ \text{cm}: 29{,}8^\circ\mathrm{C}
Taxa de perda de calor da aleta: 2{,}86\\ \mathrm{W}