Considere uma aleta retangular muito longa fixada a superfície plana, de tal forma que a temperatura na sua ponta seja essencialmente a mesma do ar circundante, ou seja, 20^{\circ} \mathrm{C}. Sua largura é de 5 cm ; espessura 1 mm ; condutividade térmica 200 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}; e temperatura da base 40^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor é de 20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Estime a temperatura da aleta à distância de 5 cm da base e a taxa de perda de calor em toda a aleta.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
\text{largura (ou profundidade) } W = 5\\ \text{cm} = 0{,}05\\ \text{m}
\text{espessura } t = 1\\ \text{mm} = 0{,}001\\ \text{m}
k = 200\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
T_b = 40^\circ\mathrm{C}
T_\infty = 20^\circ\mathrm{C}
h = 20\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}
O que o enunciado pede:
  1. Estimar a temperatura da aleta à distância de 5\\ \text{cm} da base (ou seja, em x=0{,}05\\ \text{m}).
  2. Estimar a taxa de perda de calor em toda a aleta.
Observações implícitas usadas na resolução (fornecidas pelo enunciado):
  • A aleta é “muito longa” e a ponta tem temperatura essencialmente igual ao ar, logo usamos a condição T(x\to\infty)=T_\infty.
  • A aleta tem seção retangular de largura W e espessura t; área de seção transversal e perímetro convectivo serão calculados a partir desses dados.

Passo 2

Definir variáveis e geometria usada nas equações.
  • Direção longitudinal da aleta medida por x, com x=0 na base e x positivo para fora.
  • Temperatura local T(x). É útil definir a diferença de temperatura
\theta(x)=T(x)-T_\infty.
Assim a condição na base é \theta(0)=T_b-T_\infty e a condição na ponta/infinito é \theta(\infty)=0.
Área da seção transversal (área pela qual conduz calor ao longo da aleta):
A_c = W\cdot t = 0{,}05\cdot 0{,}001 = 5\times 10^{-5}\\ \text{m}^2.
Perímetro exposto à convecção (bordas através das quais aleta perde calor):
P = 2\,(W + t) = 2\,(0{,}05 + 0{,}001) = 0{,}102\\ \text{m}.

Passo 3

Montar o balanço de energia diferencial (a equação de condução unidimensional com perda convectiva lateral).
Para um elemento diferencial de aleta, o balanço (assumindo propriedades constantes e fluxo unidimensional) leva à equação diferencial:
\frac{d^2\theta}{dx^2} - m^2 \theta = 0,
onde o parâmetro m é definido por
m^2=\frac{hP}{kA_c}.
Explicando fisicamente:
  • O termo \frac{d^2\theta}{dx^2} vem da segunda derivada espacial da temperatura (condução ao longo da aleta).
  • O termo m^2 \theta representa a perda de calor por convecção nas faces laterais, proporcional a \theta.
  • A_c é a área que conduz calor longitudinalmente; P é o perímetro que convete com o fluido; h e k como dados.

Passo 4

Resolver a equação diferencial com as condições de contorno para uma aleta muito longa (condição de ponta à temperatura do ar).
A solução geral é
\theta(x) = C_1 e^{m x} + C_2 e^{-m x}.
As condições são \theta(0)=\theta_b com \theta_b=T_b-T_\infty, e \theta(x\to\infty)\to 0. A componente e^{m x} diverge para x\to\infty, portanto C_1=0. Assim
\theta(x) = \theta_b\, e^{-m x}.
Em termos de temperaturas:
T(x) = T_\infty + (T_b-T_\infty)\,e^{-m x}.

Passo 5

Calcular o valor numérico de m.
Primeiro calculamos hP e kA_c:
hP = 20\cdot 0{,}102 = 2{,}04\quad\text{(unidade: W/m·K·m = W/K)}.
kA_c = 200\cdot 5\times 10^{-5} = 0{,}01\quad\text{(unidade: W/K)}.
Logo
m^2=\frac{hP}{kA_c}=\frac{2{,}04}{0{,}01}=204,
m=\sqrt{204}\approx 14{,}28\\ \text{m}^{-1}.
Comentário curto: m tem dimensão inversa de comprimento e determina a escala de decaimento térmico ao longo da aleta; quanto maior m, mais rápido a temperatura cai para T_\infty.

Passo 6

Calcular a temperatura à distância x=5\\ \text{cm}=0{,}05\\ \text{m}.
A diferença de temperatura na base é
\theta_b = T_b - T_\infty = 40 - 20 = 20\\ ^\circ\mathrm{C}.
Usando a solução
T(x) = T_\infty + \theta_b\, e^{-m x},
substituímos m e x:
m x = 14{,}28\cdot 0{,}05 \approx 0{,}714.
e^{-m x} \approx e^{-0{,}714} \approx 0{,}4895.
Portanto
T(0{,}05) = 20 + 20\cdot 0{,}4895 \approx 20 + 9{,}79 \approx 29{,}79^\circ\mathrm{C}.
Arredondando com sentido prático: T(5\\ \text{cm})\approx 29{,}8^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Calcular a taxa de perda de calor total da aleta.
O fluxo térmico na base (taxa total de calor retirada pela aleta) é dado por
q = -kA_c\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}.
Da solução \theta(x)=\theta_b e^{-m x} temos \frac{d\theta}{dx}=-m\theta_b e^{-m x}, então em x=0
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0} = \left.\frac{d\theta}{dx}\right|_{x=0} = -m\theta_b.
Assim
q = -kA_c(-m\theta_b) = kA_c m \theta_b.
Usando m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}} pode-se reescrever:
q = \sqrt{hPkA_c}\;\theta_b.

Passo 8

Calcular numericamente q.
Já temos \theta_b=20. Calculamos o fator:
hP k A_c = (2{,}04)\cdot(0{,}01) = 0{,}0204.
\sqrt{hPkA_c} = \sqrt{0{,}0204}\approx 0{,}14285\\ \mathrm{W/(K)}.
Logo
q = 0{,}14285\cdot 20 \approx 2{,}857\\ \mathrm{W}.
Arredondando: q \approx 2{,}86\\ \mathrm{W}. Este valor é a taxa total de perda de calor da aleta para o ar ambiente, sob as hipóteses usadas (aleta muito longa, propriedades constantes, convecção uniforme).

Resposta

Temperatura em x=5\\ \text{cm}: 29{,}8^\circ\mathrm{C}
Taxa de perda de calor da aleta: 2{,}86\\ \mathrm{W}

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