(3 Pontos) A comporta retangular de 260 kg e 6 m de largura é articulada em B e encosta no chão em A, formando um ângulo de 45^{\circ} \mathrm{com} a horizontal. A comporta deve ser aberta em sua borda inferior por meio da aplicação de uma força vertical (F) no seu centro. Determine a força necessária mínima para abrir a comporta.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: massa da comporta m=260\\ \mathrm{kg}.
  • Dado: largura (comprimento da comporta) L=6\\ \mathrm{m}. Logo o centro geométrico (onde a força F é aplicada) fica a L/2=3\\ \mathrm{m} do apoio B ao longo da comporta.
  • Dado (da figura): a comporta forma o ângulo \theta=45^\circ com a horizontal.
  • Pedido: a força vertical mínima F aplicada no centro que abre (descola) a comporta da borda inferior A, ou seja, a menor F que faz a reação em A ficar nula (início do levantamento).
  • Observação importante: a força F e o peso W atuam ambos no centro da comporta (mesmo ponto ao longo da barra), portanto têm a mesma distância perpendicular ao apoio B.

Passo 2

Estratégia e princípio físico usado (explicado passo a passo, sem pular etapas):
  • Para que a comporta comece a abrir (A perde contato) a reação vertical em A deve ser zero. Nesse instante ainda podemos aplicar as equações de equilíbrio estático sobre a comporta.
  • Uma equação muito útil é a soma dos momentos (torques) em torno do ponto B. Escolhemos o ponto B porque elimina as incógnitas das reações em B (braço nulo para reação em B), deixando apenas os momentos causados por W e por F.
  • Momento de uma força em relação a um ponto: M = r \times F. Para forças verticais a distância eficaz (braço) é a distância horizontal entre a linha de ação da força e o ponto de giro. Para uma força vertical F aplicada num ponto cuja posição em coordenadas cartesianas é (x,y) medida desde B, o momento em torno de B tem magnitude M = F\cdot x (onde x é a coordenada horizontal do ponto).
  • No nosso caso tanto W quanto F atuam no centro (mesma posição), portanto têm o mesmo braço horizontal relativo a B. Assim seus momentos são proporcionais às intensidades W e F com o mesmo fator multiplicativo (o mesmo braço).

Passo 3

Calcular o peso W da comporta:
  • A força peso é W = m\cdot g.
  • Usando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},
W = 260\cdot 9{,}81 = 2550{,}6\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Determinar o braço (distância horizontal) do centro em relação a B (mostrando a fórmula):
  • A posição do centro em relação a B ao longo da comporta é L/2=3\\ \mathrm{m}.
  • A componente horizontal desse comprimento (braço para forças verticais) é
x = \frac{L}{2}\cos\theta = 3\cos 45^\circ = 3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{m}.
  • Observação: tanto W quanto F têm esse mesmo braço x.

Passo 5

Escrever a condição de equilíbrio de momentos em torno de B quando A está prestes a perder contato:
  • Adotando o sinal tal que o momento que tende a abrir (levantar A) é positivo, temos a soma dos momentos nula no instante crítico:
\sum M_B = F\cdot x - W\cdot x = 0.
  • Como x\neq 0, podemos dividir por x, obtendo
F - W = 0 \quad\Rightarrow\quad F = W.

Passo 6

Interpretar o resultado e calcular numericamente F:
  • Conclusão física: porque a força F é aplicada no mesmo ponto (centro) onde age o peso (mesmo braço), para neutralizar o momento do peso e começar a levantar a comporta é necessário que F iguale numericamente o peso W.
  • Logo
F_{\min}=W=2550{,}6\\ \mathrm{N}\approx 2{,}55\\ \mathrm{kN}.

Resposta

F_{\min}=2550{,}6\\ \mathrm{N} (aproximadamente 2{,}55\\ \mathrm{kN}).

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