(3 Pontos) A comporta retangular de 260 kg e 6 m de largura é articulada em B e encosta no chão em A, formando um ângulo de
a horizontal. A comporta deve ser aberta em sua borda inferior por meio da aplicação de uma força vertical (F) no seu centro. Determine a força necessária mínima para abrir a comporta.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: massa da comporta
. - Dado: largura (comprimento da comporta)
. Logo o centro geométrico (onde a força é aplicada) fica a do apoio ao longo da comporta. - Dado (da figura): a comporta forma o ângulo
com a horizontal. - Pedido: a força vertical mínima
aplicada no centro que abre (descola) a comporta da borda inferior , ou seja, a menor que faz a reação em ficar nula (início do levantamento). - Observação importante: a força
e o peso atuam ambos no centro da comporta (mesmo ponto ao longo da barra), portanto têm a mesma distância perpendicular ao apoio .
Passo 2
Estratégia e princípio físico usado (explicado passo a passo, sem pular etapas):
- Para que a comporta comece a abrir (A perde contato) a reação vertical em
deve ser zero. Nesse instante ainda podemos aplicar as equações de equilíbrio estático sobre a comporta. - Uma equação muito útil é a soma dos momentos (torques) em torno do ponto
. Escolhemos o ponto porque elimina as incógnitas das reações em (braço nulo para reação em ), deixando apenas os momentos causados por e por . - Momento de uma força em relação a um ponto:
. Para forças verticais a distância eficaz (braço) é a distância horizontal entre a linha de ação da força e o ponto de giro. Para uma força vertical aplicada num ponto cuja posição em coordenadas cartesianas é medida desde , o momento em torno de tem magnitude (onde é a coordenada horizontal do ponto). - No nosso caso tanto
quanto atuam no centro (mesma posição), portanto têm o mesmo braço horizontal relativo a . Assim seus momentos são proporcionais às intensidades e com o mesmo fator multiplicativo (o mesmo braço).
Passo 3
Calcular o peso
da comporta:
- A força peso é
. - Usando
,
Passo 4
Determinar o braço (distância horizontal) do centro em relação a
(mostrando a fórmula):
- A posição do centro em relação a
ao longo da comporta é . - A componente horizontal desse comprimento (braço para forças verticais) é
- Observação: tanto
quanto têm esse mesmo braço .
Passo 5
Escrever a condição de equilíbrio de momentos em torno de
quando
está prestes a perder contato:
- Adotando o sinal tal que o momento que tende a abrir (levantar
) é positivo, temos a soma dos momentos nula no instante crítico:
- Como
, podemos dividir por , obtendo
Passo 6
Interpretar o resultado e calcular numericamente
:
- Conclusão física: porque a força
é aplicada no mesmo ponto (centro) onde age o peso (mesmo braço), para neutralizar o momento do peso e começar a levantar a comporta é necessário que iguale numericamente o peso . - Logo