(Aproximações sucessivas da raiz quadrada) Seja a>0 e ( an ) definida indutivamente por a1=a e an+1=12(an+aan), para n>1.
(a) Usando o fato de que (x-ax)^2 >= 0 obtenha (x+ax)^2 >= 4 a. Use isso para mostra que xn+1 >= a, forall n in N.
(b) Mostre que an+2 <= an+1, forall n in N.
(c) Mostre que (an) é convergente e calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência (an) por
a1 = a > 0, an+1 = 12l(an + aanr)
Queremos usar a desigualdade
l(x - axr)^2 >= 0
para mostrar que an+1>=raiza, depois provar que an+2<= an+1 e, por fim, concluir convergência e calcular o limite.

Passo 2

Para x>0 temos
l(x - axr)^2 >= 0 ;Longrightarrow; x^2 -2a + a^2x^2>=0 ;Longrightarrow; x^2 + a^2x^2>=2a
Somando 4a aos dois lados e reagrupando,
l(x+tfracaxr)^2 = x^2 + 2a + a^2x^2 >= 4a
Tomando x = an e extraindo raiz quadrada,
an + aan >= 2raiza ;Longrightarrow; an+1 = 12l(an + aanr) >= raiza,
para todo n.

Passo 3

Vamos mostrar por indução que an+2<= an+1 para todo n.
Base n=1:
a3<= a2 ;Long<=ftrightarrow; 12l(a2+aa2r)<= a2 ;Long<=ftrightarrow; a<= a2^2,
que é verdade porque do Passo 2 temos a2>=raiza.
Passo indutivo: suponha an+1<= an. Então
an+2-an+1 =12l(an+1+aan+1r) -12l(an+aanr) =12,(an+1-an)l(1-aan,an+1r)
Como an,an+1>=raiza implica an,an+1>= a, segue
,1-tfracaan an+1>=0
e pelo hipótese indutiva an+1-an<=0, logo
an+2-an+1<=0 ;Longrightarrow; an+2<= an+1

Passo 4

Do Passo 2 temos an>=raiza para todo n e do Passo 3 que (an) é monótona decrescente a partir de n=2. Assim (an) é limitada inferiormente e monótona, logo converge. Se
ell=limntoinftyan, passando ao limite em
ell = 12l(ell + aellr)
obtém-se
2ell = ell + aell ;Longrightarrow; ell^2 = a ;Longrightarrow; ell = raiza

Resposta

limntoinftyan = raiza

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