(Aproximações sucessivas da raiz quadrada) Seja
e (
) definida indutivamente por
e
, para
.
(a) Usando o fato de que
obtenha
. Use isso para mostra que
.
(b) Mostre que
.
(c) Mostre que
é convergente e calcule seu limite.
(a) Usando o fato de que
(b) Mostre que
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Queremos usar a desigualdade
para mostrar que
, depois provar que
e, por fim, concluir convergência e calcular o limite.
Passo 2
Para
temos
Somando
aos dois lados e reagrupando,
Tomando
e extraindo raiz quadrada,
para todo
.
Passo 3
Vamos mostrar por indução que
para todo
.
Base :
Base
que é verdade porque do Passo 2 temos
.
Passo indutivo: suponha
. Então
Como
implica
, segue
e pelo hipótese indutiva , logo
e pelo hipótese indutiva
Passo 4
Do Passo 2 temos
para todo
e do Passo 3 que
é monótona decrescente a partir de
. Assim
é limitada inferiormente e monótona, logo converge. Se
, passando ao limite em
obtém-se