Qual o valor de raiz6+raiz6+raiz6+raiz6+ldots ?

Passo 1

O enunciado pede o valor do radical infinito
raiz6+raiz6+raiz6+dots
Isso envolve reconhecer que ele converge para um número que chamaremos de x.

Passo 2

Chamando
x = raiz6+raiz6+raiz6+dots,
observamos que dentro da raiz aparece novamente x. Logo, temos
x = raiz6 + x

Passo 3

Elevando dos dois lados ao quadrado para eliminar a raiz, obtemos
x^2 = 6 + x
que pode ser reescrita como
x^2 - x - 6 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática x^2 - x - 6 = 0 o discriminante é
De<a = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-6) = 1 + 24 = 25,
portanto as raízes são
x = 1 pm raiz252 = 1 pm 52,
isto é, x = 3 ou x = -2. Como o radical infinito só pode assumir valor não negativo, ficamos com
x = 3

Resposta

3

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