Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
f(x, y)=e^-y cos (pi x)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f(x,y)=e^-ycos(pi x). Vamos usar derivação parcial, ou seja, para partial/partial x tratamos y como constante, e para partial/partial y tratamos x como constante, aplicando também a regra da cadeia quando necessário.

Passo 2

Calcular partial fpartial x. Como y é constante, e^-y sai da derivada e ficamos com a derivada de cos(pi x). Logo,
partial fpartial x = e^-y,ddxl[cos(pi x)r] = e^-yl[-sin(pi x)cdotpir] = -pi e^-ysin(pi x)

Passo 3

Calcular partial fpartial y. Aqui x é constante, então cos(pi x) sai da derivada e derivamos e^-y. Assim,
partial fpartial y = cos(pi x),ddyl[e^-yr] = cos(pi x)l[-e^-yr] = -e^-ycos(pi x)

Resposta

partial fpartial x(x,y) = -pi e^-ysin(pi x), partial fpartial y(x,y) = -e^-ycos(pi x)

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