Aproximar
no ponto
usando os três primeiros termos da expansão em Série de Taylor centrada em
. Determine o valor aproximado e calcule o erro absoluto em relação ao valor real de
, considerando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aproximar a função $ f(x) = e^{x} $ no ponto $ x = 0,5 $ usando os três primeiros termos da série de Taylor centrada em $ x = 0 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e cálculo de erro absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, a série de Taylor de $ e^{x} $ centrada em $ x = 0 $ (também chamada de série de Maclaurin) é:
Passo 3
Como o exercício pede para usar apenas os três primeiros termos, vamos considerar até o termo $ \frac{x^{2}}{2!} $. Assim, a aproximação fica:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ x = 0,5 $ nessa expressão para encontrar o valor aproximado:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro absoluto, que é a diferença entre o valor real e o valor aproximado:
Resposta
Aproximando $ e^{0,5} $ usando os três primeiros termos da série de Taylor, obtemos $ 1,625 $ e o erro absoluto é $ 0,0237 $.