Aproximar f(x)=e^x no ponto x=0,5 usando os três primeiros termos da expansão em Série de Taylor centrada em x=0. Determine o valor aproximado e calcule o erro absoluto em relação ao valor real de e^0.5, considerando e^0.5 approx 1,6487.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aproximar a função $ f(x) = e^{x} $ no ponto $ x = 0,5 $ usando os três primeiros termos da série de Taylor centrada em $ x = 0 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e cálculo de erro absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, a série de Taylor de $ e^{x} $ centrada em $ x = 0 $ (também chamada de série de Maclaurin) é:
e^x

Passo 3

Como o exercício pede para usar apenas os três primeiros termos, vamos considerar até o termo $ \frac{x^{2}}{2!} $. Assim, a aproximação fica:
x^22!

Passo 4

Agora, vamos substituir $ x = 0,5 $ nessa expressão para encontrar o valor aproximado:
x = 0,5
Calculando cada parte:
e^0,5 approx 1 + 0,5 + (0,5)^22
Então:
(0,5)^22 = 0,252 = 0,125

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro absoluto, que é a diferença entre o valor real e o valor aproximado:
Erro absoluto = |Valor real - Valor aproximado| = |1,6487 - 1,625| = 0,0237

Resposta

Aproximando $ e^{0,5} $ usando os três primeiros termos da série de Taylor, obtemos $ 1,625 $ e o erro absoluto é $ 0,0237 $.

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