Calcular
, onde
é o hemisfério da frente da esfera
.
Passo 1
Na questão, queremos calcular a integral de superfície ∬_S x(z²+y²)dS sobre o hemisfério de frente da esfera x²+y²+z²=9 (isto é, a parte com x≥0). O conteúdo aqui é integral de superfície e vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar S.
Passo 2
Parametrizamos a superfície S em coordenadas esféricas de raio 3 como segue:
com
e
(para garantir x≥0).
Passo 3
A função integranda é f(x,y,z)=x(z²+y²). Substituindo em esféricas e multiplicando por dS, obtemos
Passo 4
Podemos escrever a integral como
Dentro dos colchetes, definimos
de modo que a parte interna seja
.
Passo 5
Usando identidades trigonométricas chega-se a
Passo 6
Substituindo
e
de volta e fatorando, resta calcular
Fazendo
,
, de
a
, obtemos
Passo 7
Juntando tudo: