Calcular integral dupla x(z^2+y^2) d S, onde S é o hemisfério da frente da esfera x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

Na questão, queremos calcular a integral de superfície ∬_S x(z²+y²)dS sobre o hemisfério de frente da esfera x²+y²+z²=9 (isto é, a parte com x≥0). O conteúdo aqui é integral de superfície e vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar S.

Passo 2

Parametrizamos a superfície S em coordenadas esféricas de raio 3 como segue:
x=3sinphicostheta, y=3sinphisintheta, z=3cosphi, dS=9sinphi,dphi,dtheta
com phiin[0,pi] e thetain[-pi/2,pi/2] (para garantir x≥0).

Passo 3

A função integranda é f(x,y,z)=x(z²+y²). Substituindo em esféricas e multiplicando por dS, obtemos
f,dS=243,sin^2phi,costheta,l(cos^2phi+sin^2phi,sin^2thetar),dphi,dtheta

Passo 4

Podemos escrever a integral como
I=243integral-pi/2^pi/2costheta[integral0^pisin^2phi,(cos^2phi+sin^2phi,sin^2theta),dphi]dtheta
Dentro dos colchetes, definimos
I1=integral0^pisin^2phi,cos^2phi,dphi, I2=integral0^pisin^4phi,dphi,
de modo que a parte interna seja I1+sin^2theta,I2.

Passo 5

Usando identidades trigonométricas chega-se a
I1=integral0^pisin^2phi,cos^2phi,dphi=pi8, I2=integral0^pisin^4phi,dphi=3pi8

Passo 6

Substituindo I1 e I2 de volta e fatorando, resta calcular
J=integral-pi/2^pi/2costhetal(1+3sin^2thetar),dtheta
Fazendo u=sintheta, du=costheta,dtheta, de u=-1 a 1, obtemos
J=integral-1^1(1+3u^2),du=l[u+u^3r]-1^1=4

Passo 7

Juntando tudo:
I=243timespi8times 4=243pi2

Resposta

243pi2

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