Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
29) sum 11+k^2

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série sumk=1^infty 11+k^2. O conteúdo é o teste da integral, e vamos precisar de uma função f(x) contínua, positiva e decrescente em [1,infty) que coincida com os termos gerais da série.

Passo 2

Definimos f(x)=11+x^2. Primeiro, note que para todo x>=1 temos f(x)>0 e f(x) é contínua em [1,infty), pois o denominador nunca zera.

Passo 3

Para aplicar o teste da integral precisamos também que f(x) seja decrescente em [1,infty). Calculamos a derivada:
f'(x)=ddxl((1+x^2)^-1r)=-1cdot(1+x^2)^-2cdot2x=-2x(1+x^2)^2
Como x>0 em [1,infty), temos f'(x)<0, logo f(x) é decrescente.

Passo 4

Agora calculamos a integral imprópria
integral1^infty11+x^2,dx=limttoinftyintegral1^t11+x^2,dx=limttoinftyl[arctan(x)r]1^t
Isso dá
limttoinfty(arctan t-arctan1)=pi2-pi4=pi4,
que é finito.

Passo 5

Como a integral converge (é finita), o teste da integral nos garante que a série sumk=1^infty11+k^2 também converge.

Resposta

A série converge por comparação com a integral (teste da integral).

Exercícios relacionados