Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
29)
29)
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral na série
. O conteúdo é o teste da integral, e vamos precisar de uma função
contínua, positiva e decrescente em
que coincida com os termos gerais da série.
Passo 2
Definimos
. Primeiro, note que para todo
temos
e
é contínua em
, pois o denominador nunca zera.
Passo 3
Para aplicar o teste da integral precisamos também que
seja decrescente em
. Calculamos a derivada:
Como
Passo 4
Agora calculamos a integral imprópria
Isso dá
que é finito.
Passo 5
Como a integral converge (é finita), o teste da integral nos garante que a série
também converge.
Resposta
A série converge por comparação com a integral (teste da integral).