Aproxime a função f(x)=cos (x) por um polinômio de grau dois no intervalo [0,1]. Estime o erro máximo cometido.

Passo 1

O enunciado pede aproximar a função f(x)=cos(x) por um polinômio de grau 2 no intervalo [0,1]. Vamos usar o polinômio de Taylor (Maclaurin) até a ordem 2 e estimar o erro pelo resto de Lagrange.

Passo 2

Para montar o polinômio de Maclaurin, calculamos as derivadas em x=0:
f(0)=\cos(0)=1,
f’(x)=-\sin(x) ⇒ f’(0)=0,
f’’(x)=-\cos(x) ⇒ f’’(0)=-1.
Assim o polinômio de grau 2 é
P2(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2x^2=1+0cdot x-12x^2=1-x^22

Passo 3

Para estimar o erro usamos o resto de Lagrange de ordem 2. Como f’’’(x)=\sin(x), existe xiin(0,x) tal que
R2(x)=f^(3)(xi)3!x^3=sin(xi)6,x^3

Passo 4

No intervalo [0,1], temos |sin(xi)|<=sin(1) e x^3<=1. Logo
|R2(x)|<=sin(1)6approx0.14

Resposta

O polinômio de grau 2 é P2(x)=1-tfracx^22 e o erro máximo estimado no intervalo [0,1] satisfaz |f(x)-P2(x)|<=tfracsin(1)6approx0.14.

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