Aproxime a função
por um polinômio de grau dois no intervalo
. Estime o erro máximo cometido.
Passo 1
O enunciado pede aproximar a função
por um polinômio de grau 2 no intervalo
. Vamos usar o polinômio de Taylor (Maclaurin) até a ordem 2 e estimar o erro pelo resto de Lagrange.
Passo 2
Para montar o polinômio de Maclaurin, calculamos as derivadas em
:
f(0)=\cos(0)=1,
f’(x)=-\sin(x) ⇒ f’(0)=0,
f’’(x)=-\cos(x) ⇒ f’’(0)=-1.
Assim o polinômio de grau 2 é
f(0)=\cos(0)=1,
f’(x)=-\sin(x) ⇒ f’(0)=0,
f’’(x)=-\cos(x) ⇒ f’’(0)=-1.
Assim o polinômio de grau 2 é
Passo 3
Para estimar o erro usamos o resto de Lagrange de ordem 2. Como f’’’(x)=\sin(x), existe
tal que
Passo 4
No intervalo
, temos
e
. Logo
Resposta
O polinômio de grau 2 é
e o erro máximo estimado no intervalo [0,1] satisfaz
.