Usando interpolação inversa sobre 3 pontos, encontre uma aproximação para a raiz de uma função representada pelos dados
0,5 0,8 1,0 1,3 1,5 1,9
0,73 1,09

Passo 1

A gente tem os dados de
x: 0,5 0,8 1,0 1,3 1,5 1,9 e f(x): -3,3 -2,7 -1,0 -0,4 0,73 1,09. O conteúdo aqui é interpolação inversa de grau 2 sobre 3 pontos para encontrar x tal que f(x)=0. Vamos usar polinômio de Lagrange invertido, em que tratamos f como variável independente e x como dependente.

Passo 2

Primeiro, identificamos onde ocorre a troca de sinal em f: entre x=1,3 (f=-0,4) e x=1,5 (f=0,73). Para ter boa aproximação, escolhemos três pontos próximos ao zero: (x_0,f_0)=(1,0,-1,0), (x_1,f_1)=(1,3,-0,4) e (x_2,f_2)=(1,5,0,73).

Passo 3

Na interpolação inversa, montamos o polinômio de Lagrange em termos de f. Definimos
f_0=-1,0, f_1=-0,4, f_2=0,73 e x_0=1,0, x_1=1,3, x_2=1,5. O polinômio é dado por
x(f)=sumi=0^2 xiprodj=0,jneq i^2f-fjfi-fj

Passo 4

Agora, avaliamos cada base de Lagrange em f=0. Para i=0 temos
l0(0)=(0-f1)(0-f2)(f0-f1)(f0-f2)=(0+0,4)(0-0,73)(-1,0+0,4)(-1,0-0,73)=0,4cdot(-0,73)(-0,6)cdot(-1,73)approx-0,2812
Para i=1:
l1(0)=(0-f0)(0-f2)(f1-f0)(f1-f2)=(0+1,0)(0-0,73)(-0,4+1,0)(-0,4-0,73)=1,0cdot(-0,73)0,6cdot(-1,13)approx1,0767
Para i=2:
l2(0)=(0-f0)(0-f1)(f2-f0)(f2-f1)=(0+1,0)(0+0,4)(0,73+1,0)(0,73+0,4)=1,0cdot0,41,73cdot1,13approx0,2046

Passo 5

Por fim, a raiz aproximada é
x(0)=x0l0(0)+x1l1(0)+x2l2(0)
Substituindo:
x(0)=1,0cdot(-0,2812)+1,3cdot1,0767+1,5cdot0,2046approx1,43

Resposta

Aproximação da raiz: x≈1,43

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