Aproxime a função
f(x)= xpi, & 0 <= x <= pi -xpi+2, & pi<x <= 2 pi
usando o método dos mínimos quadrados, usando o produto escalar
<f, g>=integral0^2 pi f(x) g(x) d x
e as funções aproximadoras:
g(x)=a0+a1 x+a2 x^2; e

Passo 1

O enunciado pede a aproximação em quadrados mínimos da função
f(x)= dfracxpi, & 0 <= x <= pi,[6pt] -dfracxpi+2, & pi < x <= 2pi
por um polinômio
g(x)=a0+a1x+a2x^2
no intervalo [0,2pi] usando o produto escalar
lang<= u,vrang<==integral0^2piu(x)v(x),dx
Para isso, vamos montar as equações normais
A,a=b,
onde
Aij=integral0^2pix^i+j,dx, bi=integral0^2pif(x),x^i,dx,
com i,j=0,1,2, e então resolver para a0,a1,a2.]

Passo 2

Calculemos primeiro os elementos de A. Para m>=0 vale
integral0^2pix^m,dx=(2pi)^m+1m+1
Logo
A= integral0^2pi1,dx & integral0^2pix,dx & integral0^2pix^2,dx[8pt] integral0^2pix,dx & integral0^2pix^2,dx & integral0^2pix^3,dx[8pt] integral0^2pix^2,dx & integral0^2pix^3,dx & integral0^2pix^4,dx = 2pi & 2pi^2 & tfrac8pi^33[6pt] 2pi^2 & tfrac8pi^33 & 4pi^4[6pt] tfrac8pi^33 & 4pi^4 & tfrac32pi^55 ]

Passo 3

Agora, cada bi=integral0^2pif(x),x^i,dx deve ser obtido somando a parte de 0 a pi com a parte de pi a 2pi. Fazendo os cálculos:
b0=integral0^pixpi,dx+integralpi^2pil(2-xpir),dx =pi2+l(2pi-3pi2r) =pi,
b1=integral0^pixpi,x,dx +integralpi^2pil(2-xpir)x,dx =pi^23+2pi^23 =pi^2,
b2=integral0^pixpi,x^2,dx +integralpi^2pil(2-xpir)x^2,dx =pi^34+11pi^312 =7pi^36
Portanto
b=pi[3pt]pi^2[3pt]tfrac7pi^36 ]

Passo 4

As equações normais
Dividindo as três equações por (\pi,;\pi{2},;\pi{3}], respectivamente, obtemos o sistema equivalente
]

Passo 5

Subtraindo a segunda equação da primeira tira-se a0 e obtém-se
a1+2pi,a2=0 Longrightarrow a1=-2pi,a2
Substituindo isso na primeira dá
2,a0-tfrac4pi^23,a2=1 Longrightarrow a0=tfrac12+tfrac2pi^23,a2

Passo 6

Finalmente, colocar a0 e a1 na terceira equação e resolver para a2 resulta em
a2=-1516pi^2,
de onde
a1=-2pi,a2=158pi, a0=12+2pi^23,a2 =-18

Resposta

A melhor aproximação em quadrados mínimos é
boxedg(x)=-18 ;+;158pi,x;-;1516pi^2,x^2

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