Aproxime a função
usando o método dos mínimos quadrados, usando o produto escalar
<f, g>=integral0^2 pi f(x) g(x) d x
e as funções aproximadoras:
g(x)=a0+a1 x+a2 x^2 ; e
Passo 1
O enunciado pede a aproximação em quadrados mínimos da função
por um polinômio
no intervalo
[0,2pi] usando o produto escalar
Para isso, vamos montar as equações normais
onde
com
i,j=0,1,2 , e então resolver para
a0,a1,a2 .]
Passo 2
Calculemos primeiro os elementos de
A . Para
m>=0 vale
Logo
Passo 3
Agora, cada
bi=integral0^2pif(x),x^i,dx deve ser obtido somando a parte de
0 a
pi com a parte de
pi a
2pi . Fazendo os cálculos:
Portanto
Passo 4
As equações normais
Dividindo as três equações por (\pi,;\pi{2},;\pi{3}], respectivamente, obtemos o sistema equivalente
]
Passo 5
Subtraindo a segunda equação da primeira tira-se
a0 e obtém-se
Substituindo isso na primeira dá
Passo 6
Finalmente, colocar
a0 e
a1 na terceira equação e resolver para
a2 resulta em
de onde
Resposta
A melhor aproximação em quadrados mínimos é