Aproxime a função
usando o método dos mínimos quadrados, usando o produto escalar
<f, g>=integral0^2 pi f(x) g(x) d x
e as funções aproximadoras:
h(x)=a0+a1 sin (x)+a2 cos (x) .
Passo 1
O enunciado pede para aproximar, em norma de mínimos quadrados com produto escalar
a função por
Como as funções
1,sin x,cos x são ortogonais em
[0,2pi] , podemos obter os coeficientes por
Passo 2
Calculamos primeiro os denominadores, que vêm direto da ortogonalidade:
Passo 3
Agora
a0=lang<= f,1rang<=2pi , com
Calculando:
Logo
lang<= f,1rang<==pi e
Passo 4
Para
a1=lang<= f,sin xrang<=pi calculamos
Usando partes em cada integral chega-se a
de onde
lang<= f,sin xrang<==0 e
Passo 5
Para
a2=lang<= f,cos xrang<=pi fazemos
Calculando por partes em cada termo, obtém-se
logo
lang<= f,cos xrang<==-4pi e
Resposta
A aproximação de mínimos quadrados é