Aproxime a função
f(x)= xpi, & 0 <= x <= pi -xpi+2, & pi<x <= 2 pi
usando o método dos mínimos quadrados, usando o produto escalar
<f, g>=integral0^2 pi f(x) g(x) d x
e as funções aproximadoras:
h(x)=a0+a1 sin (x)+a2 cos (x).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar, em norma de mínimos quadrados com produto escalar
lang<= f,grang<==integral0^2pif(x),g(x),dx,
a função por
h(x)=a0+a1sin x+a2cos x
Como as funções 1,sin x,cos x são ortogonais em [0,2pi], podemos obter os coeficientes por
a0=lang<= f,1rang<=lang<= 1,1rang<=, a1=lang<= f,sin xrang<=lang<= sin x,sin xrang<=, a2=lang<= f,cos xrang<=lang<= cos x,cos xrang<=

Passo 2

Calculamos primeiro os denominadores, que vêm direto da ortogonalidade:
lang<= 1,1rang<==integral0^2pi1,dx=2pi,
lang<= sin x,sin xrang<==integral0^2pisin^2x,dx=pi,
lang<= cos x,cos xrang<==integral0^2picos^2x,dx=pi

Passo 3

Agora a0=lang<= f,1rang<=2pi, com
lang<= f,1rang<==integral0^2pif(x),dx =integral0^pixpi,dx +integralpi^2pil(-xpi+2r),dx
Calculando:
integral0^pixpi,dx =1pi,pi^22 =pi2,
integralpi^2pil(-xpi+2r),dx =-1pi,(2pi)^2-pi^22 +2pi =-3pi2+2pi =pi2
Logo lang<= f,1rang<==pi e
a0=pi2pi=12

Passo 4

Para a1=lang<= f,sin xrang<=pi calculamos
lang<= f,sin xrang<= =integral0^pixpisin x,dx +integralpi^2pil(-xpi+2r)sin x,dx
Usando partes em cada integral chega-se a
integral0^pixpisin x,dx=1, integralpi^2pil(-xpi+2r)sin x,dx=-1,
de onde lang<= f,sin xrang<==0 e
a1=0pi=0

Passo 5

Para a2=lang<= f,cos xrang<=pi fazemos
lang<= f,cos xrang<= =integral0^pixpicos x,dx +integralpi^2pil(-xpi+2r)cos x,dx
Calculando por partes em cada termo, obtém-se
integral0^pixpicos x,dx=-2pi, integralpi^2pil(-xpi+2r)cos x,dx=-2pi,
logo lang<= f,cos xrang<==-4pi e
a2=-tfrac4pipi=-4pi^2

Resposta

A aproximação de mínimos quadrados é
boxed h(x)=12-4pi^2cos x

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