Aproxime as funções abaixo pelo seu polinômio de Taylor de grau 3 em torno de
no intervalo
e calcule o erro máximo cometido ao fazer tal aproximação, neste intervalo. Repita o exercício para o polinômio de Taylor de grau 4.
,
Passo 1
O que o enunciado pede: aproximar a função
por um polinômio de Taylor de grau 3 em torno de
no intervalo
e calcular o erro máximo nessa aproximação; depois repetir para o polinômio de grau 4. Informações relevantes dadas: a função é
e o centro é
; o intervalo onde queremos o erro máximo é
. Nada mais é necessário.
Passo 2
Lembrete útil (aula rápida de Taylor): o polinômio de Taylor (Maclaurin) de ordem
de uma função
centrado em
é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Cada coeficiente é dado por
. Vou aplicar isso para os graus pedidos.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá‑las em
. As derivadas ciclam:
e assim por diante (periodicidade de período
nas derivadas). Agora avaliando em
:
Passo 4
Construindo o polinômio de Taylor de grau
usando os coeficientes acima:
Substituindo os valores:
Observação prática: como
tem apenas termos pares na expansão em torno de
, os coeficientes dos termos ímpares são zero.
Passo 5
Agora a estimativa do erro (a tal “conta do que a gente erra”): usamos a forma de Lagrange do resto. Para Maclaurin, o resto
ao truncar depois do grau
tem a forma
para algum
entre
e
. Em módulo isso dá
onde
. Então precisamos estimar
usando as derivadas de
.
Passo 6
Para
(polinômio grau 3) o resto envolve
. Como
para todo
, podemos tomar
. Assim, para
,
O erro máximo no intervalo ocorre no maior valor de
, isto é
. Então
Isto nos dá o erro máximo garantido ao usar
.
Passo 7
Resumo parcial (grau 3): o polinômio de Taylor de grau 3 é
e o erro máximo no intervalo
satisfaz
Passo 8
Agora repetimos para o polinômio de grau
. Pelo cálculo das derivadas já feito, temos o termo de ordem
:
. Assim
Passo 9
Para o resto com
aplicamos a mesma forma de Lagrange: o resto envolve
, que é
. Como
para todo
, podemos tomar
. Logo, para
,
No extremo
isso dá
Passo 10
Resumo final (grau 4): o polinômio de Taylor de grau 4 é
e o erro máximo no intervalo
satisfaz
Resposta
Polinômio grau 3:
. Erro máximo
.
Polinômio grau 4: . Erro máximo
.
Polinômio grau 4: