Aproxime as funções abaixo pelo seu polinômio de Taylor de grau 3 em torno de x_{0}=0 no intervalo [-1 / 2,1 / 2] e calcule o erro máximo cometido ao fazer tal aproximação, neste intervalo. Repita o exercício para o polinômio de Taylor de grau 4.
f(x)=\cos x,

Passo 1

O que o enunciado pede: aproximar a função f(x)=\cos x por um polinômio de Taylor de grau 3 em torno de x_{0}=0 no intervalo [-1/2,1/2] e calcular o erro máximo nessa aproximação; depois repetir para o polinômio de grau 4. Informações relevantes dadas: a função é f(x)=\cos x e o centro é x_{0}=0; o intervalo onde queremos o erro máximo é [-1/2,1/2]. Nada mais é necessário.

Passo 2

Lembrete útil (aula rápida de Taylor): o polinômio de Taylor (Maclaurin) de ordem n de uma função f centrado em 0 é
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k},
onde f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em 0. Cada coeficiente é dado por \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}. Vou aplicar isso para os graus pedidos.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f(x)=\cos x e avaliá‑las em 0. As derivadas ciclam:
\begin{aligned} f(x)&=\cos x,\\\ f'(x)&=-\sin x,\\\ f''(x)&=-\cos x,\\\ f^{(3)}(x)&=\sin x,\\\ f^{(4)}(x)&=\cos x, \end{aligned}
e assim por diante (periodicidade de período 4 nas derivadas). Agora avaliando em 0:
\begin{aligned} f(0)&=\cos 0=1,\\\ f'(0)&=-\sin 0=0,\\\ f''(0)&=-\cos 0=-1,\\\ f^{(3)}(0)&=\sin 0=0,\\\ f^{(4)}(0)&=\cos 0=1. \end{aligned}

Passo 4

Construindo o polinômio de Taylor de grau 3 usando os coeficientes acima:
T_{3}(x)=\frac{f(0)}{0!}+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^{3}.
Substituindo os valores:
T_{3}(x)=1+0\cdot x+\frac{-1}{2!}x^{2}+0\cdot x^{3}=1-\frac{x^{2}}{2}.
Observação prática: como \cos x tem apenas termos pares na expansão em torno de 0, os coeficientes dos termos ímpares são zero.

Passo 5

Agora a estimativa do erro (a tal “conta do que a gente erra”): usamos a forma de Lagrange do resto. Para Maclaurin, o resto R_{n}(x) ao truncar depois do grau n tem a forma
R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{\,n+1}
para algum \xi entre 0 e x. Em módulo isso dá
|R_{n}(x)|\le M\frac{|x|^{\,n+1}}{(n+1)!},
onde M=\max_{\zeta\in[-1/2,1/2]}|f^{(n+1)}(\zeta)|. Então precisamos estimar M usando as derivadas de \cos.

Passo 6

Para n=3 (polinômio grau 3) o resto envolve f^{(4)}(\xi)=\cos\xi. Como |\cos \xi|\le 1 para todo \xi, podemos tomar M=1. Assim, para |x|\le 1/2,
|R_{3}(x)|\le \frac{|x|^{4}}{4!}.
O erro máximo no intervalo ocorre no maior valor de |x|, isto é |x|=1/2. Então
\max_{x\in[-1/2,1/2]}|R_{3}(x)|\le \frac{(1/2)^{4}}{4!}=\frac{1}{16\cdot 24}=\frac{1}{384}.
Isto nos dá o erro máximo garantido ao usar T_{3}.

Passo 7

Resumo parcial (grau 3): o polinômio de Taylor de grau 3 é
T_{3}(x)=1-\frac{x^{2}}{2},
e o erro máximo no intervalo [-1/2,1/2] satisfaz
\max_{x\in[-1/2,1/2]}|\,\cos x - T_{3}(x)\,|\le \frac{1}{384}.

Passo 8

Agora repetimos para o polinômio de grau 4. Pelo cálculo das derivadas já feito, temos o termo de ordem 4: \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^{4}=\dfrac{1}{4!}x^{4}=\dfrac{x^{4}}{24}. Assim
T_{4}(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}.

Passo 9

Para o resto com n=4 aplicamos a mesma forma de Lagrange: o resto envolve f^{(5)}(\xi), que é -\sin\xi. Como |-\sin\xi|\le 1 para todo \xi, podemos tomar M=1. Logo, para |x|\le 1/2,
|R_{4}(x)|\le \frac{|x|^{5}}{5!}.
No extremo |x|=1/2 isso dá
\max_{x\in[-1/2,1/2]}|R_{4}(x)|\le \frac{(1/2)^{5}}{5!}=\frac{1}{32\cdot 120}=\frac{1}{3840}.

Passo 10

Resumo final (grau 4): o polinômio de Taylor de grau 4 é
T_{4}(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24},
e o erro máximo no intervalo [-1/2,1/2] satisfaz
\max_{x\in[-1/2,1/2]}|\,\cos x - T_{4}(x)\,|\le \frac{1}{3840}.

Resposta

Polinômio grau 3: T_{3}(x)=1-\dfrac{x^{2}}{2}. Erro máximo \le \dfrac{1}{384}.
Polinômio grau 4: T_{4}(x)=1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}. Erro máximo \le \dfrac{1}{3840}.

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