Aproxime f por um polinômio de Taylor(a) e Maclaurin(b) com grau n no número a.
a) F(x)=x^{2 / 3}, \quad a=1, \quad n=3,
b) f(x)=\cos 3 x, aproveite o polinômio para determinar o \cos 15^{\circ} para n=3

Passo 1

O enunciado pede duas aproximações por polinômio de Taylor/Maclaurin de grau n=3:
a) para F(x)=x^{2/3} em a=1;
b) para f(x)=\cos3x em a=0 (Maclaurin) e, em seguida, usar esse polinômio para aproximar \cos15^\circ.

Passo 2

Calculamos as derivadas de F(x)=x^{2/3} e avaliamos em x=1:
F'(x)=\tfrac{2}{3}x^{-1/3},\quad F''(x)=-\tfrac{2}{9}x^{-4/3},\quad F'''(x)=\tfrac{8}{27}x^{-7/3}.
Logo,
F(1)=1,\quad F'(1)=\tfrac{2}{3},\quad F''(1)=-\tfrac{2}{9},\quad F'''(1)=\tfrac{8}{27}.

Passo 3

O polinômio de Taylor de grau 3 em a=1 é
P_3(x)=F(1)+F'(1)(x-1)+\frac{F''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{F'''(1)}{3!}(x-1)^3,
isto é,
P_3(x) =1+\tfrac{2}{3}(x-1)-\tfrac{1}{9}(x-1)^2+\tfrac{4}{81}(x-1)^3.

Passo 4

Para f(x)=\cos3x, obtemos em a=0:
f'(x)=-3\sin3x,\quad f''(x)=-9\cos3x,\quad f'''(x)=27\sin3x.
Em x=0:
f(0)=1,\quad f'(0)=0,\quad f''(0)=-9,\quad f'''(0)=0.

Passo 5

O polinômio de Maclaurin de grau 3 é
P_3(x) =1+0\cdot x+\frac{-9}{2!}x^2+0\cdot x^3 =1-\frac{9}{2}x^2.

Passo 6

Para aproximar \cos15^\circ, note que 15^\circ=\pi/12 e \cos15^\circ=\cos(3x) com x=\pi/36. Logo,
\cos15^\circ\approx P_3\bigl(\tfrac{\pi}{36}\bigr) =1-\tfrac{9}{2}\Bigl(\tfrac{\pi}{36}\Bigr)^2 =1-\frac{\pi^2}{288} \approx0,9657.

Resposta

a) O polinômio de Taylor de grau 3 para F(x)=x^{2/3} em a=1 é
P_3(x)=1+\tfrac{2}{3}(x-1)-\tfrac{1}{9}(x-1)^2+\tfrac{4}{81}(x-1)^3.
b) O polinômio de Maclaurin de grau 3 para \cos3x é
P_3(x)=1-\tfrac{9}{2}x^2,
e com isso
\cos15^\circ\approx1-\frac{\pi^2}{288}\approx0,9657.

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