Calcule o volume do conjunto S dado.
(d) S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 4 x+2 y \leqslant z \leqslant 3 x+y+1, x \geqslant 0\right. e \left.y \geqslant 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
S = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 4x+2y \le z \le 3x+y+1,\; x\ge0,\;y\ge0\bigr\}.
Aqui vamos usar integral tripla pela projeção de S no plano xy: primeiro determinamos o domínio D em xy, depois integramos a “altura” z_{\rm sup}-z_{\rm inf}.

Passo 2

Para existir ponto em S devemos ter
4x+2y \le 3x+y+1 \quad\Longrightarrow\quad -x - y +1 \ge0 \quad\Longrightarrow\quad x+y \le1.
Combinando com x\ge0 e y\ge0, o domínio de projeção é
D = \bigl\{(x,y): x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\bigr\}.

Passo 3

Em cada (x,y)\in D, a espessura em z é
z_{\rm sup}-z_{\rm inf} = \bigl(3x+y+1\bigr) - \bigl(4x+2y\bigr) = 1 - x - y.
Logo o volume é
V = \iint_{D} \bigl(1 - x - y\bigr)\,dA.

Passo 4

Escolhendo integração em ordem y depois x, temos
V = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{1-x} (1 - x - y)\,dy\,dx.
Calcule a integral interna:
\int_{0}^{1-x} (1 - x - y)\,dy = \Bigl[(1-x)y - \tfrac12y^2\Bigr]_{0}^{1-x} = (1-x)^2 - \tfrac12(1-x)^2 = \tfrac12(1-x)^2.
Agora
V = \int_{0}^{1} \tfrac12(1-x)^2\,dx = \tfrac12\cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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