Resolva as equaçōes:
c) y=(x+4) \frac{d y}{d x}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y \;=\;(x+4)\,\frac{dy}{dx} \;+\;\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2}.
Este tipo de equação é da forma de Clairaut (ou Lagrange), que se escreve
y \;=\;x\,p \;+\;F(p),
onde p=\tfrac{dy}{dx}. Aqui identificamos
F(p)=4p+p^{2}.

Passo 2

Para a solução geral de Clairaut, assume-se p=C constante. Substituindo em
y = x\,p + F(p)
com p=C, obtemos
y = C\,x + \bigl(4C + C^{2}\bigr).

Passo 3

A solução geral é, portanto, o famí­lia de retas
\boxed{y = C\,x + C^{2} + 4C,\quad C\in\mathbb{R}.}

Passo 4

Para achar a solução singular (caso envelope), derivamos
y = x\,p + F(p)
em relação a p e impomos
0 = \frac{\partial}{\partial p}\bigl(x\,p + F(p)\bigr) \;\Longrightarrow\; 0 = x + F'(p) \;\Longrightarrow\; x + (4+2p)=0 \;\Longrightarrow\; p = -\frac{x+4}{2}.
Substituindo de volta em y = x\,p +4p + p^{2}, vem
y = x\Bigl(-\tfrac{x+4}{2}\Bigr)+4\Bigl(-\tfrac{x+4}{2}\Bigr) +\Bigl(-\tfrac{x+4}{2}\Bigr)^{2} = -\frac{(x+4)^{2}}{4}.

Resposta

Solução geral:
y = C\,x + C^{2} + 4C,\quad C\in\mathbb{R}.
Solução singular:
y = -\frac{(x+4)^{2}}{4}.

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