Resolva as equaçōes:
d)
d)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
que é uma equação diferencial de primeira ordem em forma de diferencial exato ou potencial, podendo requerer fator integrante. Vamos verificar se é exata e, se não for, buscar um fator integrante adequado.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa só de
. Para isso, examinamos
que é função apenas de
. Logo, um fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
, obtendo
Agora
e conferimos
portanto a equação é exata após a multiplicação.
Passo 5
Existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Em seguida, diferenciamos em relação a
e igualamos a
:
logo
Portanto
Passo 6
A solução geral implícita vem de
Multiplicando por 2 e renomeando a constante, obtemos
onde
é constante arbitrária.
Resposta
sendo
constante de integração.