Resolva as equaçōes:
d) x y d x+\left(2 x^{2}+3 y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
x\,y\,dx + \bigl(2x^{2} + 3y^{2}\bigr)\,dy = 0
que é uma equação diferencial de primeira ordem em forma de diferencial exato ou potencial, podendo requerer fator integrante. Vamos verificar se é exata e, se não for, buscar um fator integrante adequado.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x\,y \qquad\text{e}\qquad N(x,y) = 2x^{2} + 3y^{2}.
Calculamos as parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 4x.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de y. Para isso, examinamos
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M} = \frac{4x - x}{x\,y} = \frac{3x}{x\,y} = \frac{3}{y},
que é função apenas de y. Logo, um fator integrante é
\mu(y) = \exp\!\Bigl(\int \tfrac{3}{y}\,dy\Bigr) = \exp\bigl(3\ln|y|\bigr) = y^{3}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por y^{3}, obtendo
y^{3}\,x\,y\,dx + y^{3}\bigl(2x^{2} + 3y^{2}\bigr)\,dy = 0 \;\Longrightarrow\; x\,y^{4}\,dx + \bigl(2x^{2}y^{3} + 3y^{5}\bigr)\,dy = 0.
Agora
\widetilde M(x,y) = x\,y^{4}, \qquad \widetilde N(x,y) = 2x^{2}y^{3} + 3y^{5},
e conferimos
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = 4x\,y^{3}, \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = 4x\,y^{3},
portanto a equação é exata após a multiplicação.

Passo 5

Existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = \widetilde M = x\,y^{4}, \qquad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = \widetilde N = 2x^{2}y^{3} + 3y^{5}.
Integramos \widetilde M em relação a x:
\Psi(x,y) = \int x\,y^{4}\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2}y^{4} + h(y).
Em seguida, diferenciamos em relação a y e igualamos a \widetilde N:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = \tfrac{1}{2}x^{2}\cdot 4y^{3} + h'(y) = 2x^{2}y^{3} + h'(y) \stackrel!= 2x^{2}y^{3} + 3y^{5},
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h'(y) = 3y^{5} \quad\Longrightarrow\quad h(y) = \frac{3}{6}y^{6} = \tfrac{1}{2}y^{6}.
Portanto
\Psi(x,y) = \tfrac{1}{2}x^{2}y^{4} + \tfrac{1}{2}y^{6}.

Passo 6

A solução geral implícita vem de
\Psi(x,y) = C \;\Longrightarrow\; \tfrac{1}{2}y^{4}\bigl(x^{2} + y^{2}\bigr) = C.
Multiplicando por 2 e renomeando a constante, obtemos
y^{4}\bigl(x^{2} + y^{2}\bigr) = K,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

y^{4}\bigl(x^{2} + y^{2}\bigr) = K,
sendo K constante de integração.

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