Aproxime
considerando o quociente de diferenças
para valores de
perto de 0 ; depois, encontre o valor exato de
por derivação.
25-26 Aproxime
considerando o quociente de diferenças
para valores de
perto de 0 ; depois, encontre o valor exato de
por derivação.
25-26 Aproxime
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a derivada de
em
usando o quociente de diferenças
para
próximo de zero, e depois calcular
exatamente por derivação. O conteúdo é o conceito de derivada como limite do quociente de diferenças e a regra de potência para derivação.
Passo 2
Vamos primeiro obter uma expressão fechada para o quociente de diferenças:
Agora escolhemos alguns
próximos de zero para ver como isso se comporta:
Se repetíssemos com
e
, obteríamos algo como
e
. Essas aproximações já indicam que o valor tende a
.
Passo 3
Agora calculamos a derivada exata usando a regra de potência. Escrevemos
logo
Em
isso dá
Resposta
Para
pequeno (por exemplo
e
) as aproximações são cerca de
e
, mostrando que
.
O valor exato é
O valor exato é