Aproxime f^prime(1) considerando o quociente de diferenças
f(1+h)-f(1)h
para valores de h perto de 0 ; depois, encontre o valor exato de f^prime(1) por derivação.
25-26 Aproxime f^prime(1) considerando o quociente de diferenças
f(1+h)-f(1)h
para valores de h perto de 0 ; depois, encontre o valor exato de f^prime(1) por derivação.
f(x)=1x^2

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a derivada de
f(x)=1x^2
em x=1 usando o quociente de diferenças
f(1+h)-f(1)h
para h próximo de zero, e depois calcular f'(1) exatamente por derivação. O conteúdo é o conceito de derivada como limite do quociente de diferenças e a regra de potência para derivação.

Passo 2

Vamos primeiro obter uma expressão fechada para o quociente de diferenças:
f(1+h)-f(1)h =1(1+h)^2-1h =1-(1+h)^2h,(1+h)^2 =-2h - h^2h,(1+h)^2 =-2+h(1+h)^2
Agora escolhemos alguns h próximos de zero para ver como isso se comporta:
para h=0,01: -2+0,01(1,01)^2approx -2,011,0201approx -1,970,
para h=-0,01: -2-0,01(0,99)^2approx -1,990,9801approx -2,030
Se repetíssemos com h=0,001 e h=-0,001, obteríamos algo como -1,997 e -2,003. Essas aproximações já indicam que o valor tende a -2.

Passo 3

Agora calculamos a derivada exata usando a regra de potência. Escrevemos
f(x)=x^-2
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f'(x)=-2,x^-3
Em x=1 isso dá
f'(1)=-2cdot1^-3=-2

Resposta

Para h pequeno (por exemplo h=0,01 e h=-0,01) as aproximações são cerca de -1,970 e -2,030, mostrando que f'(1)approx -2.
O valor exato é
f'(1)=-2

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