Aproxime
usando a série de Maclaurin de
até ordem 3.
Passo 1
O enunciado pede: aproximar
usando a série de Maclaurin de
até ordem 3.
Informações dadas/assumidas:
Informações dadas/assumidas:
- O ponto de expansão é
(Maclaurin). - O valor a aproximar é
. - Vou assumir que
está em radianos (isso é o padrão em séries de funções trigonométricas). - “Até ordem 3” significa manter termos da série até o grau
em (isto é, incluir o termo em e descartar termos de grau maior).
Passo 2
Explicando a série de Maclaurin de
de forma didática: a série de Maclaurin é a série de Taylor centrada em
. Para uma função
com derivadas em
, vale
No caso de
os derivados em
seguem um padrão periódico. Calculando os primeiros derivados e seus valores em
:
e a sequência se repete. Dessa forma a série de Maclaurin de
fica
Aqui cada termo tem a forma
. “Até ordem 3” significa truncar essa série após o termo em
, ou seja:
Passo 3
Agora substituímos
na aproximação truncada e calculamos os termos passo a passo (sem pular contas):
Calcule
:
Calcule
:
Então o segundo termo é
Portanto a aproximação é
Convertendo para decimal:
Passo 4
Estimativa do erro (importantíssimo na prova): ao truncar uma série alternante cujos termos em módulo decrescem, o erro absoluto é no máximo o módulo do próximo termo não incluído. O próximo termo na série de
é
. Calculamos um limite superior para o erro:
Calcule
:
Então
Isso significa que a aproximação
difere do valor real de
por menos de
. (Como checagem rápida, o valor exato de
é aproximadamente
, portanto o erro real é cerca de
, consistente com o acima.)