Aproxime \sin (0.5) usando a série de Maclaurin de \sin (x) até ordem 3.

Passo 1

O enunciado pede: aproximar \sin(0,5) usando a série de Maclaurin de \sin(x) até ordem 3.
Informações dadas/assumidas:
  • O ponto de expansão é 0 (Maclaurin).
  • O valor a aproximar é x=0,5.
  • Vou assumir que 0,5 está em radianos (isso é o padrão em séries de funções trigonométricas).
  • “Até ordem 3” significa manter termos da série até o grau 3 em x (isto é, incluir o termo em x^3 e descartar termos de grau maior).

Passo 2

Explicando a série de Maclaurin de \sin(x) de forma didática: a série de Maclaurin é a série de Taylor centrada em 0. Para uma função f com derivadas em 0, vale
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.
No caso de \sin(x) os derivados em 0 seguem um padrão periódico. Calculando os primeiros derivados e seus valores em 0:
\begin{aligned} f(x)&=\sin(x), & f(0)&=0,\\\ f'(x)&=\cos(x), & f'(0)&=1,\\\ f''(x)&=-\sin(x), & f''(0)&=0,\\\ f^{(3)}(x)&=-\cos(x), & f^{(3)}(0)&=-1,\\\ \end{aligned}
e a sequência se repete. Dessa forma a série de Maclaurin de \sin(x) fica
\sin(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots.
Aqui cada termo tem a forma (-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}. “Até ordem 3” significa truncar essa série após o termo em x^{3}, ou seja:
\sin(x)\approx x-\frac{x^{3}}{3!}.

Passo 3

Agora substituímos x=0,5 na aproximação truncada e calculamos os termos passo a passo (sem pular contas):
x=0,5=\frac{1}{2}.
Calcule x^{3}:
x^{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}=0,125.
Calcule 3!:
3!=6.
Então o segundo termo é
\frac{x^{3}}{3!}=\frac{0,125}{6}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{48}\approx0,0208333333.
Portanto a aproximação é
\sin(0,5)\approx 0,5-\frac{1}{48}=\frac{1}{2}-\frac{1}{48}=\frac{24-1}{48}=\frac{23}{48}.
Convertendo para decimal:
\frac{23}{48}\approx0,4791666667.

Passo 4

Estimativa do erro (importantíssimo na prova): ao truncar uma série alternante cujos termos em módulo decrescem, o erro absoluto é no máximo o módulo do próximo termo não incluído. O próximo termo na série de \sin(x) é \dfrac{x^{5}}{5!}. Calculamos um limite superior para o erro:
|R_{3}|\le\frac{|x|^{5}}{5!}=\frac{(0,5)^{5}}{120}.
Calcule (0,5)^{5}:
(0,5)^{5}=\left(\frac{1}{2}\right)^{5}=\frac{1}{32}=0,03125.
Então
|R_{3}|\le\frac{0,03125}{120}\approx0,0002604167.
Isso significa que a aproximação \dfrac{23}{48}\approx0,4791667 difere do valor real de \sin(0,5) por menos de 0,0002605. (Como checagem rápida, o valor exato de \sin(0,5) é aproximadamente 0,4794255386, portanto o erro real é cerca de 0,0002589, consistente com o acima.)

Resposta

\sin(0,5)\approx \dfrac{23}{48}\approx0,4791666667

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