Mostre que a série de Maclaurin de
pode ser usada para aproximar
. Calcule essa aproximação até ordem 5.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que a série de Maclaurin de
pode ser usada para aproximar
e (ii) calcular essa aproximação até a ordem 5.
Informações dadas/úteis: a função considerada é e o valor que queremos aproximar é
, que corresponde a tomar
. O pedido “até ordem 5” significa usar o polinômio de Maclaurin (soma parcial) com os termos até
.
Informações dadas/úteis: a função considerada é
Passo 2
Vamos obter a série de Maclaurin de
de maneira simples e clara. Começo a partir da identidade geométrica válida para
:
Essa é uma série de potências cuja soma é
quando
. Agora uso a representação de
como integral:
Posso integrar a série termo a termo (válido para
pela convergência uniforme em qualquer intervalo fechado dentro de
). Integrando a série obtemos:
Calculando as integrais,
então
Reescrevendo o índice a partir de
(troca
) fica mais comum:
Essa é a série de Maclaurin de
, válida para
(a série converge condicionalmente em
por ser uma série alternada com termos decrescentes em módulo tendendo a zero).
Passo 3
Agora veja por que essa série pode ser usada para aproximar
. Basta tomar
na série (já explicado que em
a série converge, por ser alternada com termos
decrescentes e tendendo a zero). Substituindo
na série obtém-se a série harmônica alternada:
Portanto a soma parcial desta série fornece aproximações para
.
Passo 4
Calcule a aproximação até a ordem 5: isto é, o polinômio de Maclaurin formado pelos termos até
e avaliado em
. A soma parcial com os cinco primeiros termos é
Para obter como fração comum, coloque tudo sobre
(mmc de
):
Somando:
Como número decimal (usando vírgula):
Passo 5
Dica sobre erro: por ser uma série alternada com termos decrescentes em módulo, o erro ao truncar após
termos tem módulo menor que o termo seguinte. Logo, no nosso caso
Além disso, como o próximo termo é negativo (
), a soma parcial
é uma superestimativa:
com
. Isso confirma que
é uma aproximação válida, embora ainda relativamente grosseira.