Exercício 1) Seja
um espaço de Banach de dimensão infinita, tal que
é separável. Prove que existe uma sequência
, tal que
Dica:
- Toma um subconjunto
enumerável e denso.
- Prove que
em
, se e somente se
, para todo
.
- Para cada
, considere
.
- Prove que
, para todo
. Para isso, use o fato de que definindo
, dado por
, pelo Teorema dos Isomorfismos (de Álgebra Linear),
.
- Para cada
, considere
, com
.
Passo 1
O enunciado dá:
-
é um espaço de Banach de dimensão infinita. -
(o dual de ) é separável.
O que precisamos provar: - Existe uma sequência
tal que para todo e (ou seja, converge fraca para em ).
Informações úteis que vamos usar (retomando a dica do enunciado):
- Da separabilidade de
existe um subconjunto enumerável e denso . - Para cada
definimos o subespaço - A estratégia será escolher, para cada
, um vetor com norma e mostrar que essa escolha garante .
Passo 2
Construção da sequência enumerável densa no dual e explicação do que significa
.
Pelo fato de
ser separável existe uma sequência
cuja linear span é densa em
(ou equivalentemente que
é densa em
na norma do dual).
Lembrando a definição de convergência fraca: uma sequência
converge fracamente para
(escrevemos
) se, e somente se, para todo funcional
vale
.
Como temos a sequência densa
, será útil a seguinte equivalência prática que vamos agora justificar: se
é limitada (no nosso caso vamos garantir
, então limitada) então
A implicação direta (se
então
para todo
) é imediata porque cada
.
A recíproca usa a densidade: se para todo
e
, então para qualquer
e dado
existe
com
. Então, para todo
,
A recíproca usa a densidade: se
Como
é limitada e
quando
, tomando
grande obtemos
. Logo
. Isso prova a equivalência. (Nota: por isso é importante que escolhamos
, garantindo a sequência limitada.)
Passo 3
Análise do subespaço
e uso do Teorema dos Isomorfismos para estimar a codimensão.
Para cada
considere o operador linear
Observe que
. Como
tem imagem contida em
, a dimensão da imagem satisfaz
. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (teorema dos isomorfismos em Álgebra Linear),
ou seja
. Em termos intuitivos,
tem codimensão finita (no máximo
).
Passo 4
Mostramos que
para todo
, o que permite escolher vetores não-nulos ali.
Suponha, por contradição, que para algum
tivéssemos
. Então
seria injetora e, sendo linear, isso implicaria que
é isomorfo a um subespaço de
. Logo
, ou seja,
seria finito dimensional. Isso contradiz a hipótese de
ser infinita. Portanto, para todo
temos
. Assim existe
não nulo; normalizando, existe
com
.
(Não precisamos aqui saber se
é infinito dimensional; basta que seja não-trivial para escolher um vetor unitário.)
Passo 5
Construa explicitamente a sequência
e verifique as propriedades básicas.
Para cada
escolha
tal que
. Assim, por construção, para todo
e todo
temos
.
Em particular, fixando um índice
, para todo
vale
. Logo, para cada
a sequência de números reais
é eventualmente nula, portanto
Passo 6
Use a densidade dos
para concluir que
.
Como vimos no Passo 2, a condição
para todo
e a uniforme bound
implicam que para todo
temos
. De fato, dado
e
, escolha
com
. Então para
grande
pois
. Portanto
para todo
, isto é,
.
Passo 7
Conclusão final e observações.
Temos então construído uma sequência
com
para todo
e tal que
. Essa sequência é obtida escolhendo uma sequência densa
e, para cada
, tomando
em
e normalizando.
Resposta
Escolhendo uma sequência densa
e, para cada
, um vetor
com
, obtém-se
para todo
e
.