Exercício 1) Seja E um espaço de Banach de dimensão infinita, tal que E^{*} é separável. Prove que existe uma sequência \left(x_{n}\right) \subset E, tal que
\left\|x_{n}\right\|=1 \quad \text { e } \quad x_{n} \rightharpoonup 0 .

Dica:

  • Toma um subconjunto \left\{f_{k}\right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset E^{*} enumerável e denso.
  • Prove que x_{n} \rightharpoonup 0 em E, se e somente se \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{k}\left(x_{n}\right)=0, para todo k \in \mathbb{N}.
  • Para cada n \in \mathbb{N}, considere X_{n}=\left\{x \in E ; f_{i}(x)=0, i=1, \ldots, n\right\}.
  • Prove que \operatorname{dim}\left(E-X_{n}\right) \leq n, para todo n \in \mathbb{N}. Para isso, use o fato de que definindo T: E \rightarrow \mathbb{R}^{n}, dado por T(x)=\left(f_{1}(x), \ldots, f_{n}(x)\right), pelo Teorema dos Isomorfismos (de Álgebra Linear), \operatorname{dim}\left(E / X_{n}\right) \leq n.
  • Para cada n \in \mathbb{N}, considere x_{n} \in X_{n}, com \left\|x_{n}\right\|=1.

Passo 1

O enunciado dá:
  • E é um espaço de Banach de dimensão infinita.
  • E^{*} (o dual de E) é separável.
    O que precisamos provar:
  • Existe uma sequência \left(x_{n}\right)\subset E tal que \left\|x_{n}\right\|=1 para todo n e x_{n}\rightharpoonup 0 (ou seja, x_{n} converge fraca para 0 em E).
Informações úteis que vamos usar (retomando a dica do enunciado):
  • Da separabilidade de E^{*} existe um subconjunto enumerável e denso \{f_k\}_{k\in\mathbb{N}}\subset E^{*}.
  • Para cada n definimos o subespaço X_{n}=\{x\in E \;:\; f_i(x)=0,\; i=1,\dots,n\}.
  • A estratégia será escolher, para cada n, um vetor x_n\in X_n com norma 1 e mostrar que essa escolha garante x_n\rightharpoonup 0.

Passo 2

Construção da sequência enumerável densa no dual e explicação do que significa x_n\rightharpoonup 0.
Pelo fato de E^{*} ser separável existe uma sequência \{f_k\}_{k\in\mathbb{N}}\subset E^{*} cuja linear span é densa em E^{*} (ou equivalentemente que \{f_k\} é densa em E^{*} na norma do dual).
Lembrando a definição de convergência fraca: uma sequência \left(x_{n}\right)\subset E converge fracamente para 0 (escrevemos x_n\rightharpoonup 0) se, e somente se, para todo funcional f\in E^{*} vale \lim_{n\to\infty} f(x_n)=0.
Como temos a sequência densa \{f_k\}, será útil a seguinte equivalência prática que vamos agora justificar: se \{x_n\} é limitada (no nosso caso vamos garantir \|x_n\|=1, então limitada) então
x_n\rightharpoonup 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{n\to\infty} f_k(x_n)=0\\ \text{ para todo }k\in\mathbb{N}.
A implicação direta (se x_n\rightharpoonup 0 então f_k(x_n)\to0 para todo k) é imediata porque cada f_k\in E^{*}.
A recíproca usa a densidade: se f_k(x_n)\to0 para todo k e \sup_n\|x_n\|<\infty, então para qualquer f\in E^{*} e dado \varepsilon>0 existe f_j com \|f-f_j\|<\varepsilon/2. Então, para todo n,
|f(x_n)| \le \|f-f_j\|\,\|x_n\| + |f_j(x_n)|.
Como \|x_n\| é limitada e f_j(x_n)\to0 quando n\to\infty, tomando n grande obtemos |f(x_n)|<\varepsilon. Logo f(x_n)\to0. Isso prova a equivalência. (Nota: por isso é importante que escolhamos \|x_n\|=1, garantindo a sequência limitada.)

Passo 3

Análise do subespaço X_n e uso do Teorema dos Isomorfismos para estimar a codimensão.
Para cada n considere o operador linear
T_n : E \to \mathbb{R}^n,\qquad T_n(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x)).
Observe que \ker T_n = X_n. Como T_n tem imagem contida em \mathbb{R}^n, a dimensão da imagem satisfaz \dim(\operatorname{Im} T_n)\le n. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (teorema dos isomorfismos em Álgebra Linear),
\dim(E/\ker T_n)=\dim(\operatorname{Im} T_n)\le n,
ou seja \dim(E/X_n)\le n. Em termos intuitivos, X_n tem codimensão finita (no máximo n).

Passo 4

Mostramos que X_n\neq\{0\} para todo n, o que permite escolher vetores não-nulos ali.
Suponha, por contradição, que para algum n tivéssemos X_n=\{0\}. Então T_n seria injetora e, sendo linear, isso implicaria que E é isomorfo a um subespaço de \mathbb{R}^n. Logo \dim E \le n, ou seja, E seria finito dimensional. Isso contradiz a hipótese de \dim E ser infinita. Portanto, para todo n temos X_n\neq\{0\}. Assim existe x\in X_n não nulo; normalizando, existe x_n\in X_n com \|x_n\|=1.
(Não precisamos aqui saber se X_n é infinito dimensional; basta que seja não-trivial para escolher um vetor unitário.)

Passo 5

Construa explicitamente a sequência \{x_n\} e verifique as propriedades básicas.
Para cada n\in\mathbb{N} escolha x_n\in X_n tal que \|x_n\|=1. Assim, por construção, para todo n e todo i=1,\dots,n temos f_i(x_n)=0.
Em particular, fixando um índice k\in\mathbb{N}, para todo n\ge k vale f_k(x_n)=0. Logo, para cada k a sequência de números reais \bigl(f_k(x_n)\bigr)_{n} é eventualmente nula, portanto
\lim_{n\to\infty} f_k(x_n)=0\quad\text{para todo }k\in\mathbb{N}.

Passo 6

Use a densidade dos \{f_k\} para concluir que x_n\rightharpoonup 0.
Como vimos no Passo 2, a condição \lim_{n\to\infty} f_k(x_n)=0 para todo k e a uniforme bound \|x_n\|=1 implicam que para todo f\in E^{*} temos \lim_{n\to\infty} f(x_n)=0. De fato, dado f\in E^{*} e \varepsilon>0, escolha f_j com \|f-f_j\|<\varepsilon/2. Então para n grande
|f(x_n)| \le \|f-f_j\|\,\|x_n\| + |f_j(x_n)| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon,
pois f_j(x_n)\to0. Portanto f(x_n)\to0 para todo f\in E^{*}, isto é, x_n\rightharpoonup 0.

Passo 7

Conclusão final e observações.
Temos então construído uma sequência \{x_n\}\subset E com \|x_n\|=1 para todo n e tal que x_n\rightharpoonup 0. Essa sequência é obtida escolhendo uma sequência densa \{f_k\}\subset E^{*} e, para cada n, tomando x_n em X_n=\bigcap_{i=1}^n\ker f_i e normalizando.

Resposta

Escolhendo uma sequência densa \{f_k\}_{k\in\mathbb{N}}\subset E^{*} e, para cada n, um vetor x_n\in X_n=\{x\in E: f_i(x)=0,\\ i=1,\dots,n\} com \|x_n\|=1, obtém-se \|x_n\|=1 para todo n e x_n\rightharpoonup 0.

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