Exercício 4) Seja E um espaço de Banach separável e F \subseteq E um subespaço vetorial fechado. Prove que o espaço quociente E / F é também separável.
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede isto:
Dado: E é um espaço de Banach separável.
Dado: F\subseteq E é um subespaço vetorial fechado.
Pedido: provar que o espaço quociente E/F é separável.
Lista das informações úteis que vou usar (sem resolver nada ainda):
Separável significa que existe um subconjunto denso e enumerável no espaço.
E/F é o conjunto das classes laterais (cosets) x+F com uma norma quociente adequada (uso do fato de F ser fechado será relevante para que isso seja uma norma).
Preciso mostrar que existe um conjunto enumerável em E/F cuja fecho é todo E/F.
Passo 2
Definições e objetos que aparecem — explicadinhos como se estivéssemos na prova:
Separável: um espaço topológico (ou normado) é separável se existe um conjunto S enumerável tal que o fecho de S é todo o espaço. Em símbolos: existe S=\{s_1,s_2,\dots\} tal que \overline{S}= espaço.
Espaço quociente E/F: os pontos são classes x+F=\{x+f:f\in F\}. Para trabalhar com métrica/norma no quociente, define-se a norma quociente por
\|x+F\| := \inf_{f\in F}\|x-f\|.
Explicação dessa fórmula: \|x+F\| mede a menor distância em E do representante x à subespaço F; duas escolhas de representante da mesma classe dão o mesmo valor porque trocar x por x+g só muda a expressão por um elemento de F.
Por que F fechado importa: se F for fechado então \|x+F\|=0 implica x\in F, logo a função acima é realmente uma norma em E/F. Se F não fosse fechado poderíamos ter vetores não nulos com norma zero (problema). Assim E/F com essa norma é um espaço normado legítimo (e se E for Banach e F fechado então E/F é também Banach, mas aqui só precisamos da estrutura de espaço métrico/normado).
Passo 3
Apresentar a estratégia concreta (curta e direta, sem avançar na prova): usar um conjunto enumerável denso de E e projetá‑lo em E/F pela aplicação quociente. Explico a aplicação quociente e suas propriedades básicas:
Defina q:E\to E/F por q(x)=x+F. Essa aplicação é linear e sobrejetora por construção.
Mostro que q é contínua e mesmo 1‑Lipschitz (isso será útil para transferir proximidade em E para proximidade em E/F). De fato, para x,y\in E,
Portanto \|q(x)-q(y)\|\le \|x-y\|. Conclusão: q é contínua e não aumenta distâncias (contrai ou preserva).
Passo 4
Use a separabilidade de E: seja S=\{s_1,s_2,s_3,\dots\}\subseteq E um conjunto enumerável e denso em E (existe por hipótese).
Observe que q(S)=\{q(s_n):n\in\mathbb{N}\} é enumerável (imagem de conjunto enumerável por qualquer aplicação é enumerável).
Vou mostrar que q(S) é denso em E/F. Pegue um elemento arbitrário do quociente, digamos u\in E/F. Então existe x\in E tal que u=x+F (pois q é sobrejetora). Seja \varepsilon>0.
Passo 5
Provar que qualquer bola em E/F contém um ponto de q(S):
Como S é denso em E, existe s\in S com \|s-x\|<\varepsilon.
Avaliamos a distância no quociente entre q(s) e u=q(x):
onde na última desigualdade escolhemos f=0 para obter uma estimativa conveniente. Assim
\|q(s)-u\| \le \|s-x\| < \varepsilon.
Conclusão: para todo u\in E/F e todo \varepsilon>0 existe q(s)\in q(S) com \|q(s)-u\|<\varepsilon. Isso mostra que q(S) é denso em E/F.
Passo 6
Fechamento do argumento e observações finais:
Já demonstramos que q(S) é enumerável e denso em E/F. Isso é exatamente a definição de separabilidade para E/F.
Notas adicionais (úteis em prova): a só utilização de \|q(x)-q(y)\|\le\|x-y\| e da densidade de S foi suficiente; usamos o fato de F fechado apenas para garantir que a norma quociente é realmente uma norma (ou seja, que a topologia e a métrica em E/F são bem definidas). A completude de E (ser Banach) não foi necessária para a separabilidade em si, mas a hipótese estava no enunciado.